3.1.3 导数的几何意义教案设计（一等奖）

§1.1.3导数的几何意义

授课教师 紫溪中学 李文寿

教材分析：

《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容，本节课为第一课时。

微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。

教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解平均变化率与割线斜率之间的关系；理解曲线的切线的概念；

（2）通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

（3）会求曲线在某点处的切线方程。

2、过程与方法：

（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；

（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

3、情感态度与价值观：

（1）体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力；

（2）领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。

教学重点：理解导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程。

教学难点：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。

学生学情分析：

从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。

从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。

从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。教师需创设问题情境，采用类比的方法，引导学生在概念上上升一个层次，由割线的逼近来定义一般曲线的切线，从而突破教学难点：“逼近”思想。

教学过程：

一．复习引入

导数的概念及导数的求法：

1、定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:f'(x0)或y'xx0

lim

即f'(x0)limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x2、由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: （1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；

yf(x0x)f(x0)；

xxf(x0x)f(x0)ylim（3）取极限的导数f'(x0)lim。

x0xx0x（2）求平均变化率我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pxn,f(x)(n12,3,4)n(n沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2

我们发现,当点P这n沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

f(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

kn无限趋近于切线PT的斜率k，即klimx0x容易知道，割线PPn的斜率是kn说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

xf(x0x)f(x0)k

，得到曲线在x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim点(x0,f(x0))的切线的斜率；

②利用点斜式求切线方程. 三．典例分析

2例1:

（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的切线方程. 解：（1）因为

x0f(x0x)f(x0)(1x)21(11)2x(x)2klimlimlim2., x0x0x0xxx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

（2）因为

f(x0x)f(x0)3(1x)23126x3(x)2klimlimlim6.

x0x0x0xxx[(1x)21](121)2xx2y|x1limlim2

x0x0xx所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

归纳总结得：求切线方程的步骤：

（1）求出函数在点x0处的变化率yf(x0x)f(x0); xxf(x0x)f(x0)f'(x0),得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

(2) 求极限limx0x（3）由点斜式得切线方程为：

yf(x0)f'(x0)(xx0)。

例2．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x6.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行2

于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

例3．如图，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.4

1.00.7所以

f(0.8)1.4

k下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t

0.2 药物浓度瞬时变化率f(t)

'0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 四、导函数：

（一）导函数的概念

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即: f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（二）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

例4. 求函数y解：（1）因为

x的导函数，并求函数在x=4时的导数。

f(xx)f(x)xxx(xxx)(xxx)limlimx0x0x0xxx(xxx)x1limx0x(xxx)2x11

∴

y'x4244f'(x)lim五．课堂练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

x在点(4,2)处的切线．

1383. 已知曲线yx上一点P(2,)，求点P处的切线的斜率，并求点P处的切线方程。

332．求曲线y解：（1）因为

f(1x)f(1)(1x)3133x3(x)2(x)3klimlimlim3.

x0x0x0xxx

所以在点（1,1）处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0 （2）因为

f(4x)f(4)4x4limx0x0xx

(4x4)(4x4)x1limlim.x0x0x((4x4)x(4x4)41所以在点（4,2）处的切线方程是y-2=(x-4),即x-4y+4=0 4klim

11(2x)323f(2x)f(2)3（3）因为klimlim3x0x0

xx112x6(x)2(x)3lim4.x03x所以在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0

六．小结

1..掌握求导数的三个步骤：

（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数。

2.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数f'(x)。

（3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，即

f'(x0)f'(x)xx0。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

3.导数的几何意义：函数

y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义，就是曲线

y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

4.求切线方程的步骤：

yf(x0x)f(x0); xxf(x0x)f(x0)f'(x0),得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

(2) 求极限limx0x（3）由点斜式得切线方程为：yf(x0)f'(x0)(xx0)。

（1）求出函数在点x0处的变化率七、板书

§1.1.3导数的几何意义

一、切线的定义

n切线

割线 （逼近思想）

P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))

割线PPn方程：

yf(x0)f(x0x)f(x0)(xx0)

xPP二、导数的几何意义

1.f(x0)limx0投影屏幕

(实际为第2和第3 块黑板的位置）

fx0xf(x0)kx①平均变化率 （割线斜率）

fx0xf(x0)

x

x0

k为曲线在xx0处切线的斜率

2.“以直代曲”的思想

②瞬时变化率 (切线斜率)

x0limfx0xf(x0)f(x0)

x

八、教后反思

1、注重以学生为主体，每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，体现了教师主导、学生主体、探究主线的特色。

2、依据知识的发生发展过程和学生的思维规律,运用最近发展区的理念对教材进行二次开发。体现在：

①创设问题情境，引导学生认识切线定义，由静态的发展为动态的；

②活动中，问题串的形式引导学生思考，最终得出导数的几何意义；

3、注重思想方法的渗透，从而提高学生的数学思维能力。

4、设计以导数为支撑和联结点的知识网络图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。

5、特别发挥超级画板的直观性和电子白板的易操作性，使重点得以突出，难点得以突破，提高了课堂的效率。

6、本节课也给我带来一个思考：教材中的一句话：“因此，在点P附近，曲线f(x)就可以用过点P的切线PT近似代替。”这里用在点P的切线会不会更好呢？因为我们以后还要区分“在”某点的切线和“过”某点的切线。