3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课程导入

课题名称

空间向量的正交分解及其坐标表示

一、

教学内容分析

本课是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的第一节第四课时。本节通过类比平面向量基本定理得出空间向量基本定理，并由此得出空间向量的正交分解，类比平面向量的坐标表示，通过单位正交分解得出空间向量的坐标表示，空间中的一个向量或一个点和实数组（x，y，z）之间建立起一一对应关系，完成了空间向量的几何形式到代数形式的转换，为用空间向量及其运算解决立体几何问题打下基础。

二、

学情分析

学生为普通高中的高二年级学生，情况如下：

1.

从学生知识层面看：此前学生已经学习了必修四中的平面向量，必修二中的空间几何体及空间中的点、线、面的位置关系关系以及空间直角坐标系。本章前几课已经把空间向量的定义及其运算的几何形式从平面推广到了空间，同时也明确了空间中向量的共线、共面的充要条件，为空间向量基本定理和正交分解与坐标表示的得出提供了基础保证。

2. 从学生能力层面看：学生已经具有一定的空间想象能力、分析、概括能力，初步具备了运用类比、化归思想进行推理的能力，但思维的严谨性、认识问题的深刻性还有待进一步加强。

3. 从学生情感培养方面看：学生对数学有一定的兴趣，但认识问题具有很大的局限性，经常会有挫败感，需要通过引导、课上的合作探究、相互交流激发学生对数学知识更多的兴趣。

三、

教学目标

1.知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。

2.过程与方法：设置合理的问题启发学生运用类比、归纳、转化等方法观察、分析问题，解决问题，并从中体会其中的数学思想方法。

3.情感态度与价值观：通过平面向量到空间向量的推广，让学生体会维数增加带来的影响，培养他们主动思考、勇于探索的良好品质，并体验数学知识间的相互联系与结构上的和谐统一。

四、

教学过程

1. 复***面向量基本定理，提出问题空间向量如何表示，启发学生类比平面向量得出空间中的结论。

2. 学生以小组为单位合作交流，验证猜想得出空间向量基本定理。

3. 通过基底特殊化得出空间向量的正交分解，并类比平面向量的坐标得出空间向量的坐标表示。

4. 例题分析

5. 本课小结。

五、

教学重难点

教学重点:空间向量基本定理、空间向量的正交分解与坐标表示。

教学难点:

空间向量基本定理的得出与对空间向量的坐标表示定义的理解。

六、

教学设计

教学过程

师生活动

动画演示平行设计意图

通过复***面四边形的得出过程，向量基本定理，为空由学生回答设置的间向量基本定理的问题，复***面向量得出做好铺垫。

基本定理的内容与

得出原理。

由于学过共面

通过设置的问复习回顾一

向量定理，学生知道题一引发认知冲突，在空间中与a,b共面让学生意识到在空的向量p，可以用间中，仅有两个不共提出问题

a,b表示，否则不可线的向量是不够的，以，教师进一步追问题二的提出，为学问，如果要表示空间生指明思考方向，鼓中任意一个向量，怎励学生大胆尝试猜么办？再抛出问题想，培养学生的逻辑

二，让学生猜想空间推理能力。

中有什么结论

学生以小组为

鼓励学生积极单位探究怎样验证主动思考问题，主动合作探究

上面的猜想，教师在合作交流，探求知教室内巡视适时指识，培养学生思考问导，并让学生在黑板题，分析问题与严谨上展示探究成果。

推理的能力，体会探索的成就感，激发兴趣。

投影展示空间

从严谨的角度给向量基本定理与有出定理，使学生对空关概念，并板书定理间向量基本定理的内容。

学生对辨析题认识清晰、明确。

通过辨析题的新知生成一

回答正误并阐述理设置，进一步加深学由，教师适时点评。

生对定理的理解。

通过基底的特

此环节旨在让殊化得出空间向量学生明确空间向量的正交分解，教师投的正交分解，为空间影给出空间向量的向量基本定理坐标正交分解，并板书定表示做提供知识基理。

础，并体会一般到特殊的思想方法。

学生叙述平面向

为空间向量的依据。

复习回顾二

量的坐标表示定义，坐标表示提供方法教师投影展示

学生相互交流让学生再次感受类比方法的运用，并从理论上进行说明，从而培养学生思探究与新知生成二

空间向量代数形式的表示方法，叙述交流结果；教师投影展维的严谨性，提高学示空间向量的坐标科素养

表示定义，并讲解，然后板书定义关键

内容。

通过例1的解答例1中OP的表让学生体会空间向示由学生口述，教师量基本定理的作用，板书；OQ的解答过并及时发现学生的程由学生板书后教问题，培养学生分析师点评

问题、解决问题的能力。

例2设置了一个

以原点为起点的，一例2由学生口述个起点不在原点的解答结果与方法，教坐标表示，让学生展师点评

示不同思路，感受不同方法的优劣，并说明类比得出的结论要通过验证后才可以使用。从而培养学生思维严谨的良好

由学生小结基习惯。

通过课堂小结让

例题分析

课堂小结

础知识部分，教师启学生回顾知识、反思发学生明确本课用课堂、升华思维、感到的思想方法。

悟方法

课下作业是课堂所学知识的巩固课后作业

与延伸，为下节课的学习做好铺垫。

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

1.

空间向量基本定理

2. 空间向量的正交分解

教学板（包含定理内容与图形）

3.空间向量的坐标表示

书

例1 用OA,OB,OC表示向量OP的解答过程与例一的图形