阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系特级教师教学实录

数学活动

——建立二次函数模型探究和解释

一、活动导入

1.活动导入: 猜一猜下面的积中哪一个最大：91×99,92×98，…，98×92,99×91. 这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.（板书课题）

2.活动目标：

（1）探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律. （2）建立二次函数模型说明猜想的正确. （3）通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力. 3.活动重、难点：

重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律，建立二次函数模型说明猜想的正确. 难点：建模. 二、活动过程

活动1

关于两数积的猜想与证明

1.活动指导: （1）活动内容：教材第54页活动1. （2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲：

①91×99=9009,

92×98= 9016 , 93×97= 9021 ,

94×96= 9024 ,95×95= 9025 . ②猜想：901×999，902×998，…，998×902,999×901中，哪个最大？

950×950最大

③证明：设第一个数是900+x，则第二个数是（1000-x）, 设两数积为y. a.求y与x的函数关系式；

y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000 b.求y的最大值；

y=-(x-50)2+902500 ∴y的最大值为902500，此时x=50. c.你的猜想正确吗？

2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型. ②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导. （2）生助生：同桌之间互相交流. 4.强化：建立二次函数模型要点. 活动2

曲线L的形状

1.活动指导：

（1）活动内容：教材第54页活动2. （2）活动时间：10分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲：

①按照课本的作图步骤在图中描点、连线：

②观察你画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？

③对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为（x,y）,则PA= ，PM= |y| ，由PA与PM的关系列等式，化简得.由此，点P在函数的图象上，即曲线L的形状是抛物线. 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型. ②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导. （2）生助生：同桌之间互相交流. 4.强化：建立二次函数模型要点. 三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价. （2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思)：数学活动属于开放性课时，教学过程应以学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过解二次函数问题验证猜想的正确性.

(时间：12分钟满分：100分) 一、基础巩固（50分）

1.（25分）如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象; (2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 解：（1）如图. （2）设y关于x的解析式为y=ax2，∵抛物线过点（20，2），

∴2=a×202，解得a=0.005，

∴y=0.005x2. 当x=18时，y=1.62<1.8.∴该货船在这个河段不能安全通过. 2.（25分）根据以下10个乘积，回答问题：

1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．

（1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？

（2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的. 解：（1）200×200的积最大. （2）设第一个乘数为x，第二个乘数为（400-x），乘积为y.∴y=x(400-x)=-x2+400x. .当x=200时,y有最大值.猜想正确. 二、综合应用（25分）

3.（25分）九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度

的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验:

请根据以上图案回答下列问题:

(1)在图案①中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6 m,当AB为1 m,长方形框架ABCD的面积是m2; (2)在图案②中,如果铝合金材料总长度为6 m,设AB为x m,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝x(2-x)(用含x的代数式表示)；当AB＝

1

m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;在图案③中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m,当AB=

m时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大. (3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．

探究: 如图案④,如果铝合金材料总长度为lm共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大. 解：设AB=x m.则AD=

m. ∵长方形框架ABCD的面积，

∴. 当竖档AB为

m时，长方形框架ABCD的面积最大. 三、拓展延伸（25分）

4.（25分）如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：

（1）填表：

(2)写出n＝6时，S=21; (3)根据上表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；

(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．

解：（3）如图

（4）它们在同一函数图象上.设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点（1，1），（2，3），（3，6）. 则

,解得

.∴该函数的解析式为.