3.3.1 两条直线的交点坐标名师教学实录

3.3.3

点到直线的距离

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．

知识点一

点到直线的距离

思考1

如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？

|PR||PS|答案

d＝. |RS|思考2

根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？

|Ax0＋By0＋C|答案

d＝. A2＋B2思考3

点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？

答案

仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，

CC|By0＋C|即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式．

BB|B|CC|Ax0＋C|②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝|x0＋|＝，适合公式．

AA|A|梳理

点到直线的距离

(1)定义：点到直线的垂线段的长度．

(2)图示：

|Ax0＋By0＋C|(3)公式：d＝. A2＋B2

知识点二

两条平行直线间的距离

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A、B、C到直线l2的距离分别为2、2、2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

梳理

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．

(2)图示：

(3)求法：转化为点到直线的距离．

(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|. A2＋B2

类型一

点到直线的距离

例1

(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．

41①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3. 3341解

①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，

33点P(2，－3)到该直线的距离为

|4×2－3×－3＋1|18＝；

542＋－32②3y＝4可化为3y－4＝0，

|－3×3－4|13由点到直线的距离公式得＝；

302＋32③x＝3可化为x－3＝0，

|2－3|由点到直线的距离公式得＝1. 1(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．

解

方法一

当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，

直线l的方程为x＝－1，

恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，

故x＝－1满足题意，

当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，

设l的方程为y－2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋2＝0. 由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得

|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|1＝，解得k＝－，

3k2＋1k2＋11此时l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二

由题意得l∥AB或l过AB的中点，

当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，

5－31直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－，

3－4－21此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 反思与感悟

(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：

①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．

跟踪训练1

(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．

(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为______．

131答案

(1)[，]

(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 33解析

(1)由题意知|4×4－3a|≤3，

42＋－32131131解得≤a≤，故a的取值范围为[，]．

3333

(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，

故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y＋4－3k＝0，

|－2k－2＋4－3k||4k＋2＋4－3k|由已知得＝，

1＋k21＋k22∴k＝2或k＝－，

3∴所求直线l的方程为

2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. 类型二

两平行线间的距离

例2

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_________．

(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案

(1)10

(2)2x－y＋1＝0 46m解析

(1)由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 224406＋2(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

由题意，得|3－c||c＋1|＝，解得c＝1，

22＋1222＋12∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思与感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y|b1－b2|＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋Byk＋1＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

A2＋B2跟踪训练2

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．

解

(1)方法一

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

1在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，

2则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为

1|－12×＋C|2|C－6|＝，

1352＋－122|C－6|由题意，得＝2，所以C＝32或C＝－20，

13故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 方法二

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式得2＝解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)依题意，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 类型三

利用距离公式求最值

命题角度1

由点到直线的距离求最值

例3

已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________．

答案

7

10，

52＋－122|C－6|解析

∵x2＋y2－2y＋1＝x－02＋y－12，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，

∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝|8－1|62＋82＝7. 10反思与感悟

解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．

跟踪训练3

(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．

解

(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，

∴OP所在直线方程为y＝x，

y＝x，x＝2，由解得

x＋y－4＝0，y＝2.

∴P点坐标为(2,2)．

(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，

∵kOP＝2，

1∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，

2即x＋2y－5＝0. 命题角度2

有关两平行线间距离的最值

例4

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程．

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l⊥AB2

且最大值为|AB|＝－3－62＋－1－22＝310，

∴d的取值范围为(0,310]．

(2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 反思与感悟

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．

跟踪训练4

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A．3

B.3

C.答案

D 解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝|5－－10|3＝. 262＋8233

D.

22

1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

)

A．1

B．－1

C.2

D．±2 答案

D |a－1＋1|解析

由题意知2＝1，

1＋12即|a|＝2，∴a＝±2. 2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为25，则c的值为(

) A．9

C．－11

答案

B 解析

两平行线间的距离为d＝解得c＝－9或11. 3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(

) A.10

C.6

答案

B 解析

点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为35. 54．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________. 答案

10 |15－5|解析

由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，

5∴a＋d＝10. 5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．

答案

(5，－3) 解析

由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|为最小，

4直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，

33x－4y－27＝0，解方程组

4y－1＝－x－2，3|2＋2－1|＝22＋1235B.

5D．35 |－1－－c|12＋－22＝25，

B．11或－9 D．9或－11

x＝5，得

y＝－3

∴所求点的坐标为(5，－3)．

1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．

2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．

3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝为点到直线的距离．

|C1－C2|A2＋B2求解，也可在已知直线上取一点，转化课时作业

一、选择题

1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是(

) A.2

C．3

答案

D |－1－1|解析

d＝＝2，故选D. 1＋02．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为(

) 4A.

517C.

10答案

C 解析

3x－4y－7＝0可化为6x－8y－14＝0，

由两平行线间的距离公式可得|3＋14|17＝. 62＋8210B．2 17D.

5B.2

2D．2 3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(

) 7A.

971C．－或－

93答案

C 解析

由点到直线的距离公式可得

1B．－

371D．－或

93

|－3a－4＋1||6a＋3＋1|＝，

a2＋1a2＋1化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

71解得实数a＝－或－.故选C. 934．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 答案

D 解析

根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，

因为两直线间的距离等于所以d＝|c－1|2＋122＝5的直线方程为(

) 55，

55，

5解得c＝0或c＝2，

故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 5．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为(

) A．3，－3

C．5,1

答案

C 解析

直线恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C. 6．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(

) A．0

C．0

答案

B 解析

当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0

) A．0条

C．2条

答案

B B．1条

D．3条

B．0

x－y＋1＝0，解析

联立

x＋y－1＝0，x＝0，得

y＝1.

∴两直线交点为(0,1)，

由交点到原点的距离1，故只有1条．

8．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(

) A．32

C．33

答案

A 解析

由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝二、填空题

9．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．

答案

8 解析

由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，

|1×0＋1×0－4|2所以(x＋y)min＝＝8. 222B．23 D．42 6＝32. 210．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．

17答案

－3或

3|5×2＋12×－k＋6||16－12k|解析

d＝＝，

1352＋122|16－12k||4－3k|由题意知＝4，即＝1，

131317∴k＝－3或k＝. 311．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．

答案

x＝－3或7x＋24y－75＝0 解析

(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；

(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0. 原点到直线l的距离d＝＝3，

k2＋－12|3k＋4|

7解得k＝－. 24直线l的方程为7x＋24y－75＝0. 综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 三、解答题

12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

解

设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，

则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，

∴|AD|＝2，|BC|＝2b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离，

|1＋0－b||b－1|b－1故h＝＝＝(b>1)，

222由梯形面积公式得2＋2bb－1×＝4，

22∴b2＝9，b＝±3.但b>1，

∴b＝3. 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 四、探究与拓展

13．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(

) 6595A．6

B．3

C.

D.

510答案

C 解析

如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．

由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3. 由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离

|3－－3|6d＝＝5，

12＋2256即点P到直线l3的距离为5. 514．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2. 解

AB的中点坐标为(3，－2)，k－3＋1AB＝4－2＝－1，

所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0，设点P(a，b)，

则P在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0，

又|4a＋3b－2|42＋32＝2，

解得a＝27a＝1，7，b＝－4

或b＝－87，

故所求的点为P(1，－4)或P(2787，－7)．