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立体几何中的折叠问题

教学目标：理解线、面平行、垂直的判定与性质定理，会运用定理证明空间图形中的平行和垂直关系。

难点：折叠问题中线、面的位置关系

教材分析：平面图形的折叠问题是立体几何中一种常见的也是重要的题型,它很好地将平面图形拓展成空间图形,同时也将空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径,是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.解决折叠问题的关键点是:(1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

教学过程：

【例1】(2016年全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

(1)证明:AC⊥HD'.

(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2

,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

【分析】(1)由条件可得AC∥EF,所以只需证EF⊥HD即可;(2)要求五棱锥的体积,先分析出其高为OD',再求底面面积即可,而底面五边形ABCFE的面积可以用四边形ABCD的面积减去△DEF的面积求解.

【解析】(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF,得 = ,故AC∥EF.

由此得EF⊥HD,即EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(2)由EF∥AC,得 = =

.

由AB=5,AC=6,得DO=BO=

-

=4.

所以OH=1,D'H=DH=3.

于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.

由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,

所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.

又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

又由=,得EF=.

所以五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.

所以VD'-ABCFE=××2

=

.

【例2】如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图②.

(1)求证:DE∥平面A1CB.

(2)求证:A1F⊥BE.

(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.

【解析】(1)∵在①图中,D,E分别为AC,AB的中点,

∴DE∥BC.

又DE⊄平面A1CB,∴DE∥平面A1CB.

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D.

又DE⊥CD,∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,

∴DE⊥A1F.

又A1F⊥CD,CD∩DE=D,∴A1F⊥平面BCDE,

∴A1F⊥BE.

(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.

理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.∵DE∥BC,

∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知DE⊥平面A1DC,∴DE⊥A1C.

又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,∴A1C⊥DP,DE∩DP=D.

∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.

【巩固训练1】在▱PABC中,PA=4,PC=2

,∠P=45°,D是PA的中点(如图①).将△PCD沿CD折起到图②中△P1CD的位置,得到四棱锥P1-ABCD.

(1)将△PCD沿CD折起的过程中,CD⊥平面P1DA是否成立?并证明你的结论.

(2)若P1A=2,M为BC的中点,求三棱锥B-P1AM的体积.

①

②

【解析】(1)将△PCD沿CD折起过程中,CD⊥平面P1DA成立.证明如下:

∵D是PA的中点,∴DP=DA=2,

在△PDC中,由余弦定理得CD2=PC2+PD2-2PC·PD·cos 45°=4,

∴CD=2=PD.

∵CD2+DP2=8=PC2,∴△PDC为等腰直角三角形且CD⊥PA,∴CD⊥DA,CD⊥P1D,P1D∩AD=D,∴CD⊥平面P1DA.

(2)∵DP1=DA=P1A=2,

∴△P1DA为等边三角形.

取AD的中点O,连接P1O,则P1O=

,P1O⊥AD,

由(1)知CD⊥平面P1DA,CD⊂平面ABCD,

∴平面P1DA⊥平面ABCD,

∴P1O⊥平面ABCD,

∴三棱锥P1-ABM的高h=P1O=

.

∵M为BC的中点,∴BM=2,S△ABM=

×BM×CD=

×2×2=2.

∴VB-P1AM=

-ABM=

S△ABM×h=

×2×

=

【巩固训练2】如图,在长方形ABCD中,AB=2

,AD=

,M为DC的中点.将△ADM沿AM折

.

起,使得平面ADM⊥平面ABCM.

(1)求证:AD⊥BM.

(2)若E是线段DB上的一动点,问:当点E在何位置时,三棱锥E-ADM的体积与四棱锥D-ABCM的体积之比为1∶3?

【解析】(1)∵在长方形ABCD中,AB=2

,AD=

,M为DC的中点,∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.

∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.

∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.

(2)当E为DB的中点时.

VE-ADM=

VB-ADM=

VD-ABM=

×

VD-ABCM=

VD-ABCM.

课堂小结：

将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为平面图形翻折问题,常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合.解决这类问题的关键在于要弄清楚翻折前后哪些量、哪些关系发生了变化.

作业：

在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,过A作CD的垂线，交CD的延长线与点E,AE3,连接EB交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2，

（1）证明：平面BFP平面BCP （2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP平面ABBCD,求三棱锥G-BCH的体积。