习题2.2优质课教案内容

第4讲

直线、平面平行的判定与性质

[最新考纲] 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

知

识

梳

理

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

定义

定理

性质

图形

a∩α＝∅

a∥α

a⊂α，b⊄α，a∥b b∥α

a∥α

＝b

a∥b

a∥α，a⊂β，α∩β条件

结论

a∩α＝∅

2.面面平行的判定与性质

判定

图形

条件

结论

学生用书

辨

析

感

悟

1．对直线与平面平行的判定与性质的理解

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×) 第114页

定义

α∩β＝∅

α∥β

定理

α∥β，a⊂β

a∥α

性质

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，α∥β，α∩γ＝a，β∩γa∥α，b∥α

α∥β

＝b

a∥b

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×) (4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(×) 2．对平面与平面平行的判定与性质的理解

(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×) (6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√) (7)(教材练习改编)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(×) [感悟·提升] 三个防范

一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)．

二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)．

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4)．

考点一

有关线面、面面平行的命题真假判断

【例1】

(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)．

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是(

)．

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

解析

(1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．

(2)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，∴n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n⊄β，l⊂β，∴n∥β. 答案

(1)D

(2)D 规律方法

线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．

【训练1】

(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

)．

A．b⊂α

B．b∥α

C．b⊂α或b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为(

)．

A．3

B．2

C．1

D．0 解析

(1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，故选D. (2)①中，当α与β相交时，也能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，l∥γ，l⊂β，β∩γ＝m⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．

答案

(1)D

(2)C 考点二

线面平行的判定与性质

【例2】

如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

(1)证明

法一

连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．

又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′. 又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

法二

取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′. 又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′. 而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′. (2)解

法一

连接BN，如图，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，

1所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝2B′C′＝1，

规律方法

判断或证明线面平行的常用方法：

(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

【训练2】

如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.

证明

法一

如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK. ∵F，H分别是AB，AC的中点，

∴K是△ABC的重心，

BK2∴BH＝3. BE2又据题设条件知，BG＝3，

BKBE∴BH＝BG，∴EK∥GH. ∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，

∴直线HG∥平面CEF.

图1

图2 法二

如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.

∵G为DE的中点，∴GN∥CE. ∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，

∴GN∥平面CEF.连接FH，EN

∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，

11∴FH綉2BC，EN綉2BC，∴FH綉EN，

∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF. ∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，

∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，

∴平面GHN∥平面CEF. ∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF. 考点三

面面平行的判定与性质

【例3】

(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2. (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

审题路线

(1)判定四边形BB1D1D是平行四边形⇒BD∥B1D1⇒BD∥平面CD1B1⇒同理推出A1B∥平面CD1B1⇒面A1BD∥面CD1B1. (2)断定A1O为三棱柱ABD－A1B1D1的高⇒用勾股定理求A1O⇒求S△ABD⇒求. (1)证明

由题设知，BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，

∴BD∥平面CD1B1. ∵A1D1綉B1C1綉BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1，

∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，

∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)解

∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

1又∵AO＝2AC＝1，AA1＝2，

2∴A1O＝AA21－OA＝1. 1又∵S△ABD＝2×2×2＝1，

规律方法

(1)证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；

④借助“传递性”来完成．

(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．

【训练3】

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.

证明

法一

如图，连接B1D1，B1C. ∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，

∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN⊄平面A1BD，

∴PN∥平面A1BD.

同理MN∥平面A1BD. 又PN∩MN＝N，

∴平面PMN∥平面A1BD.

法二

如图，连接AC1，AC，

且AC∩BD＝O，

∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，

∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，

∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，

∴BD⊥平面AC1C，

∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，

∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，

∴平面PMN∥平面A1BD.

1．平行关系的转化方向如图所示：

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

学生用书第116页

答题模板8——如何作答平行关系证明题

【典例】

(12分)(2012·山东卷，文)如图1，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

图1

图2

[规范解答] (1)如图2，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，

所以BE＝DE.

图3

(2)法一

如图3，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(7分) 又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.

图4

法二

如图4，延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，

所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

1所以AB＝2AF.

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．

连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.(11分) 又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC.

[反思感悟] 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理

要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点．本题易忽视DM⊄平面EBC，造成步骤不完整而失分．

答题模板

证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；

第二步：证明线线平行；

第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；

第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．

证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；

第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；

第三步：证明所作平面与所证平面平行；

第四步：转化为线面平行；

第五步：反思回顾．检查答题规范．

【自主体验】

(2013·福建卷改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，

AB＝6，DC＝3，若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC.

证明

法一

取PB中点N，连接MN，CN. 在△PAB中，

∵M是PA的中点，

∴MN∥AB，

1且MN＝2AB＝3，

又CD∥AB，CD＝3，

∴MN綉CD，

∴四边形MNCD为平行四边形，

∴DM∥CN. 又DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，

∴DM∥平面PBC.

法二

取AB的中点E，

连接ME，DE. 在梯形ABCD中，BE∥CD，

且BE＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，

BC⊂平面PBC，

∴DE∥平面PBC. 又在△PAB中，ME∥PB，

ME⊄平面PBC，

PB⊂平面PBC，

∴ME∥平面PBC，

又DE∩ME＝E，

∴平面DME∥平面PBC. 又DM⊂平面DME，

∴DM∥平面PBC.