阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用ppt配套的教学设计方案

数系的扩充和复数的概念

王占彩

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数

一定有

，实部是

，虚部是

．注意在说复数

时，

，否则，不能说实部是

，虚部是

,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住

这一标准形式以及

是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设

，则

为实数

②

③

④

为虚数

且

。

为纯虚数

且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数

都可以由一个有序实数对(

)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对(

)叫做复数的．

②复数

(

不是

用复平面内的点Z(

)表示．复平面内的点Z的坐标是

)，而不是(

)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而，所以用复平面内的点(0，1)表示

，或者

．由于

=0＋1·

时，这点与原点的距

离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数

不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位

时，就是纵轴的单位长度．

③当

(

时，对任何

，

是纯虚数，所以纵轴上的点

)( )都是表示纯虚数．但当

时，

是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．

（5）关于共轭复数的概念

设

数（不能认为

，则

，即

与

的实部相等，虚部互为相反与

或

是共轭复数）．

教师可以提一下当

和－5也是互为共轭复数．当

时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5

时，

与

互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在

么的大小．

两式中，只要有一个不成立，那．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，

b来说，a＜b，

a=b，

b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

（二）教法建议

1．要注意知识的连续性：复数

是二维数，其几何意义是一个点

，因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

复数的有关概念

教学目标

1．了解复数的实部，虚部；

2．掌握复数相等的意义；

3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数

中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2．复数相等

如果两个复数

即：

例如：

与

的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

的充要条件是

且

。

的充要条件是

且

。

例1：

已知

其中

，求x与y.

解：根据复数相等的意义，得方程组：

∴

例2：m是什么实数时，复数

,

(1)

是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.

解：

(1) ∵

时，z是实数,

∴

,或

.

(2)

∵

时，z是虚数,

∴

，且

(3)

∵

且

时，

z是纯虚数. ∴

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数

可用点

来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴

除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．

4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用

表示．若

，则：

；

（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与

关于实轴对称．

三、练习

1,2,3,4. 四、小结：

1．在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数

写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大

五、作业

1,2,3,4, 六、板书设计：

§8,2

复数的有关概念

1定义：

例1

3定义:

4几何意义:

……

……

……

……

2定义：

例2

5共轭复数:

……

……

……

……