3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课教案

奋斗没有终点，任何时候都是一个起点

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

授课教师：xx 日期：2016.12.21．

※ 学习目标

1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

2. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

※

学习过程

一、课前准备

复***面向量基本定理及推导方法：

如果a、b是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量p，总存在

实数对（1，2），使

，其中a和b叫做

。

复***面向量的坐标表示及推导方法：

平面直角坐标系中，分别取与x轴和y轴方向上的

向量e1,e2作为

y 基底，对平面上任意向量p，有且只有一对实数x，y，使

得p＝xe1＋ye2，则称有序对x,y为向量p的

，即p=

.e2

O 二、新课导学

e1

探究任务一：空间向量基本定理

对于空间任一向量p，是否也可以用空间的几个向量唯一表示呢？

问题1：如果用三个两两垂直向量可以表示空间任意向量吗？若能请作图写出它的推导过程，如果用空间三个不共面的向量是否页有类似的结论呢？。(类比平面向量基本定理的推导)

k

x p

cj

pa

bi

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获得新知1：

空间向量正交分解：

．．．．．．．．．

空间向量基本定理：

问题2：空间任意一个向量的基底有 个，0可以作为基底吗？

探究任务二：空间向量的坐标表示

结合空间向量基本定理，类比平面向量正交分解及坐标表示，归纳：

获得新知：

．．．．2．．

单位正交基底：

．．．．

空间向量的坐标表示：

三、掌握方法，适当延展

反思提高：

1.已知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量

pab，qab构成空间的另一个基底？

2.空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第二个问题有什么联系？

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四、例题透析

例1：如图，M,N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.

BBAA→→→→→OOMMQQPPNNCC例2.

正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量i,j,k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量i,j,k表示向量AC1和BD1，并说明坐标是多少。

※ 学习评价

五、当堂检测：

1.已知P,A,B,C为空间四点，且向量PA，PB，PC不构成空间的一个基底，你能得到什么结论？

2.设i,j,k为空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且→→→→→→→→OB3j2ik，则点OB的坐标是

3.在三棱锥OABC中，G是ABC的重心（三条中线的交点），选取OA，OB，OC为基底，试用基底表示OG＝

→→→→- 3 -

奋斗没有终点，任何时候都是一个起点

4.已知平行六面体ABCO－A’B’C’O’，点G是侧面BB'C'C的中心，且OA＝a，OC＝b，→→→→→→OO'＝c试用向量a,b,c表示下列向量:⑴OB'，BA'，CA'

⑵

OG.

※

课后作业

O'C'A'B'O G C B A 1. 已知a,b,c是空间的一个正交基底，向量ab,ab,c是另一组基底，若向量p在以向量a,b,c为基底的有序实数组是{1,2,3}，求向量p在以向量ab,ab,c

为基底的有序实数组.

2、

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BAC90o,AB4,AC2,BB14，

D为C1B1中点，建立适当的空间直角坐标系，并写出B1C,AD的坐标

六、总结提升

(1) 概念探究过程：

(2) 证明方法和步骤：

(3) 数学思想方法和思维方法：

A1

B1

A B C D C1

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