1.1.3 四种命题间的相互关系教案评析

1.1.3四种命题间的相互关系

一、核心素养

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

二、教学重难点

1.教学重点：四种命题之间相互的关系．

2.教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

三、教学设计

1.复习引入

四种命题的定义

2.新知探究

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.

3.四种命题间的相互关系：

上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？

【答案】以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题. 4.这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

例题解析

例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，

也就是说x2+y2 ≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 巩固练习

一、选择题

1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

【解析】

命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”

【答案】

A 2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

【解析】

原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．

【答案】

A 3．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．

其中的真命题是(

) A．①②

C．①③

B．②③

D．③④

【解析】

①③是真命题，②④是假命题．

【答案】

C 5.课时小结

1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．四种命题的真假判断

原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明). 6.

板书设计

1.

四种命题间的相互关系

2.

四种命题的真假性关系

（1）原命题与逆否命题具有相同的真假性. （2）原命题与逆命题、原命题与否命题的真假性没有关系.