3.1.2 导数的概念全国优秀课堂实录

《导数的概念》教学设计

灵山中学 魏甲孟

一、教学内容解析

导数是微积分学的核心概念之一，不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从而引出导数的概念。从教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，直接通过实例来反映导数的思想和本质。

导数属于事实型知识（函数的瞬时变化率是客观存在的），导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、效率最高、用料最省等实际问题的最有力的工具。在天文、地理等各方面都有广泛的应用，教材中也是有实例引出导数概念，再由实际问题来巩固导数的概念。让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法，领悟“无限趋近”思想，进一步体会数学的本质。

二、学生学情分析

学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理中的平均速度、瞬时速度，并积累了一定量的关于函数变化率的经验；高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有较强的求知欲和渴望探究的积极情感态度。

由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力。从平均速度、瞬

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时速度到平均变化率、瞬时变化率，是将实例抽象为数学模型，是本节认识的一次飞跃，借助几何画板的动态演示学生能初步感悟，但是对“是无限趋近于0，但始终不能为0”，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在此充分发挥作用进行点拨．

综上分析确定本节的难点是：对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性。突破策略为：用几何画板动态直观演示以降低思维难度；多利用实例以降低抽象程度，强化对过程的感悟；给足时间让学生充分合作交流；教师恰当精讲点拨。

三、教学目标

1、掌握导数的概念；会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤。

2、通过动态演示，让学生观察、经历由平均变化率到瞬时变化率的“趋近”过程，体会极限的思想方法，通过导数概念形成的过程，培养学生观察、分析、比较、归纳能力，体验从特殊到一般的研究问题方法。

3、感受导数在解决实际问题中的作用，体会极限思想的作用与价值，体会数学在实际生活中的应用。通过引入奥运会跳水夺金实例，渗透爱国教育，激发学生的学习兴趣。

四、教学策略分析

教学中遵循以学生为主体，教师为主导的原则．以恰当的系列活动为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的时间与空间，引导学生

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经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．

以“奇怪的平均速度”为问题情境，创设认知冲突，激发学生的求知欲；从感受平均速度的直观变化开始，共设计探究活动，逐步递进，分层设问，引导学生在充分直观感知的基础上，逐步抽象达到对导数概念的形成．强化对变化率的认识，夯实认知基础．用实例，多角度感悟用平均变化率的无限逼近刻划瞬时变化率的的思想方法．淡化了较难理解的极限，突出以直观的方式让学生体验无限趋近的思想方法．对于个别难点，教师精讲点拨，以提高课堂效率．

由于本节为概念类新授课，重点是让学生体验“极限的过程及研究的思想方法”，所以从实例出发，用学生最为熟悉的二次函数为模型，反馈学生对导数概念及研究思想方法的感悟；以按定义归纳求导数的方法步骤反馈学生的思维能力发展水平．最终回归生活实例，体现学以致用。

五、教学重难点

重点：导数的概念

难点：导数概念的形成过程

六、教学准备

多媒体，投影仪，签字笔

课型--新授课

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七、教学过程

环教学内容

节

展出今年里约奥运女子双人10

米台跳水动图。

课奇怪的平均速度：在高台跳水运题动中，运动员相对水面的高度h导（单位：m）与起跳后的时间t入

（单位：s）存在函数关系：。师生活动

引导学生观看跳水的轨迹及速度变化，引出平均速度为零，提出疑问。

设计意图

体验实际背景，为数学建模铺垫，渗透爱国教育，引起学习兴趣。

平均速度为“0”？通过数值与认识产生的矛盾，激发学生求知欲，引入新课。

计算运动员在这段时间里的平

学生计算2s附近的平均速度（可用计算器）。

在老师的引导下，一方面从具体数据，另一方面从几何动画分析体验无限趋近

借助直观的图像和数据，感悟在某一时刻的速度——瞬时速度是客观存在的，并与平均速度存在必然的联系，让学生初步感受“无限”、“

逼近”的思想。

探（2）观察趋近于0时，平均究感速度的变化趋势；

悟

最终得出：瞬时速度是平均速度的极限，用数学符号表示出。

均速度。

研究某一时刻的瞬时速度，以t=2s为例展开

问题串探讨：（1）分组计算2s附近区间的平均速度；

于0时平均速度的变化情况，并发表看法。

问题3：探究运动员在时刻的学生阅读教材相关内瞬时速度？

容，在独立思考后开展合作探究，给出结问题4：对于函数在果，教师巡视点拨．

的瞬时变化率是怎样表示？

在处的瞬时变

函数

在处的学生思考后合作探概化率就是念导数．记作

究，教师展示课件，形讲解要点。

成

(也可记为

为导数概念做进一步的铺垫，培养学生养成逐层深入的思维习惯。

在引导学生充分发挥主体作用的基础，恰当体现教师的主导作用，以提高学习效率。

)。

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1、高台跳水中求t=1s时的瞬

时速度。

小结出求导步骤。

实2、将原油精炼为汽油、柴油、际塑胶等各种不同产品,需要对原应油进行冷却和加热. 如果在第

用

x h时, 原油的温度(单位:°C)为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。

深化练习：求时原油的瞬

全体学生动笔演练，学生作业过程展台展示，教师适当总结。（教师视情况可板书一小题以规范学生解答过程）

1加深学生对导数的理解，熟练应用导数的概念进行运算，提炼求导步骤由特殊到一般，完成思维的飞跃。

为后面推出导数公式做铺垫．通过具体例题的分析，体验数学在实际生活中的应用。

时变化率。

归课堂主线：从实际问题抽象成数纳学问题，在用数学问题解决实际总问题。

结

1知识：导数的概念

2求导数的方法步骤：

3思想方法：极限（无限趋近）。

1、习题1.1A组第2、3 分2、思考：在高台跳水中，运动层作员在

时刻的瞬时速度在函业

数图象上有什么意义？

学生小结，再由其他人补充，完善，教师调控，并用幻灯片给出

引导学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的自主学习习惯．

通过梯度作业，做到因材施教，使不同的学生在数学上得到不同的发展，思考使学生饱满的学习趣，促进学生自主发展．

八、板书设计

导数的概念

1、导数：是函数

高台跳水中t=1s时的具体导数解题步骤

在处的瞬时变化率，即(也可记为)。

2、求导步骤：

（1）求平均变化率：（2）取极限

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