2.3 抛物线（通用）教学设计案例

《直线与抛物线的位置关系》教案

宣汉县南坝中学 彭娜

教学目标

1、知识与技能

掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法

让学生学会使用解析法，并且在解题过程中注重培养学生数形结合思想、分类的思想以及转化的思想；

3、情感态度价值观

让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神. 教学重点：

直线与抛物线的位置关系及其判断方法；

教学难点：

直线与抛物线的位置关系的判断方法及其应用；

教学方法：

多媒体教学、探究式教学。

教学过程

一、学前预习与课题引入

【学前预习】求解下列直线与抛物线的交点坐标：

y1,y24x;（1）

2y0,y4x;（2）

（3）

x0,y24x;yx1,y24x;（4）

2yx,y4x;（5）

yx2,y24x;（6）

1

问题一：请将上述六个小题的图像画在同一坐标平面内，并通过类比的思想得出各个直线和该抛物线相应的位置关系；

问题二：请用自己的语言概括出直线与抛物线的位置关系. 通过对这两个问题的自主学习，在上课的时候再加以梳理，能够达到预期的教学设想，从而进行下一步例题讲授.

二、新课讲授

例1 已知抛物线的方程为y24x动直线l过定点 ,P(2,1)斜率k为何值时，直线l与抛物线y24x.（1）只有一个公为 . 当 k共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点. 出处：本体来自于选修1-1抛物线中的例5 例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定.另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想以及分类的思想，而这些思想是学习数学问题的基础思想也是能否做好解析几何的关键. ykx2k11k(x2)，即 解

由题意，直线

l的方程为y由方程组

ykx(2k1)2y4x2得

ky4y4(2k1)0（1）当 k0时，由方程得 y1，此时，直线

l与抛物1(,1)42

线只有一个公共点

k0时，方程的判别式为

（2）当 (4)24k4(2k1) 16(2k1)(k1)10，得 k1或k；方程只有一个解. ①

由 211kk0；方程有两个解. 0，得 ②

由 且 21k1或k；方程无解. 0，得 ③由 2综上可得： 1k1,或k,或k0时， 当 直线 l与抛物线只有一个公2共点； 11k且k 当 0时，直线 l与抛物线有两个公共点； 21k1或k时，直线 当 l与抛物线没有公共点. 2一般思路及结论

直线与抛物线的位置关系代数算法一般思路：(与前面直线与圆的位置关系算法上既有联系又略有区别) 第一步：联立方程由

ykx(2k1)



得

y4x22ky4y4(2k1)03

k0，且方程第二步：看二次项系数是否为零，即k0?若

组有唯一解，则相交; 第三步：若 k0看根的判别式，分析方程组解的个数，从而确定交点个数，得出相应结论. 结论：(由学生自己总结概括)

yx） 将直线与抛物线方程联立，消去

（或者消去 ，得到关于y）的一元二次方程

x（或

axbxc0(或aybyc0)221、相交：

a0①直线与抛物线有两个公共点. 0②直线与抛物线有一个公共点且与其对称轴平行或重合. a02、相切：直线与抛物线只有一个公共点且与其对称轴相交（既a0不平行也不重合）. 0a03、相离：直线与抛物线无公共点. 0

三、课堂练习

P(0,1)且与抛物线 1、求过点 y22x有且只有一个公共点的直线方程. 通过这个易错题加强学生辩证思维能力，加强分类思考的处理问题的能力.

P(1,0)与抛物线 y24x相交，则该直线的倾斜2、直线过点 ,角范围. 本题相对而言，更注重数形结合的思想，要求学生在做题的时候更具有策略性，从而使过程化繁为简.

四、课堂总结

1、本节内容属于探究性学习，一方面为了和前面直线与圆4

以及椭圆的位置关系做个呼应，它们虽有相似但也有不同；另一方面主要通过类比的手段得出相应结论，从而也可以为第三章导数的理解做铺垫. 2、通过本节课的内容探讨以及学习，强化转化的思想、数形结合的思想以及分类讨论的思想，并运用换位思考的方式合理消元，简化运算. 3、在几何问题转化为代数问题过程中，要注意直线与抛物线位置关系的特殊性，即一个公共点不一定相切,也标志着方程组解的组数不再与位置关系形成一一对应的关系.

五、课后作业

P(1,1)，请问：直线何时x24y，直线过点 1、已知抛物线 与抛物线有公共点，并求出有公共点时的直线相应倾斜角的范围. y2x，3xy90，抛物线方程为 2、已知直线 l的方程为 Q运动于何处时，到直线 Q为抛物线上的动点，当点 点 l的距离最短，并求出最短距离.

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