小结教案和学案内容

4.1.1

椭圆小结

第1课时教学设计

叶

林

学情分析：本节课的学生已经对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。但从对求轨迹方程的方法上，学生思维上会存在障碍。

教材分析：本节课是椭圆小结第2节的内容。承接上一节椭圆的定义与标准方程，学生已经理解整个圆锥曲线，但在运用上经验不足。

本节在对前面所学的内容的巩固的基础上通过求动点轨迹进一步研究椭圆，同时进一步巩固求轨迹方程的另三种方法：相关点法，直接法，定义法。也为进一步研究双曲线、抛物线提供了一些探求模式。

教学目标：

知识技能

过程和方法

情感,态度与价值观

1．掌握用直接法、待定系数法动点轨迹过程，及其运用环境。

2．培养学生运用运动的观点去解决数学的有关问题，进一步体会坐标法在解析几何中的应用。

通过引导学生动点轨迹性质的探究，寻找出解决问题的方法。

通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题的能力，进一步增强学生数型结合的思想。

教学重点：掌握用直接法、相关点带入法求动点轨迹过程。

教学难点：理解直接法、相关点法求动点轨迹的运用环境，掌握几何关系坐标化的过程。

教

学

过

程：

一、

知识回顾：

教师利用基础题目检测了解学生对椭圆定义及其标准方程的掌握情况，对学生的回答作作必要的补充、纠正。

x2y21、

“－3

) 5－mm＋3A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2、到两定点F1（-2，0）F2(2，0)的距离之和为4的点M的轨迹是

（

）

A. 椭圆

B.

线段 C. 圆 D. 以上都不对

x2y21的焦点坐标分别为F1、F2，AB是过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是

（

）

3、椭圆925A. 20

B. 12

C.10

D. 6 二、

新课讲解：

（一）§师：上节课我们利用“待定系数法”求解椭圆的标准方程，引出例2。

[例2]

(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程．

x2y2(2) 已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆9＋4＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．

（二）我们现在了解了“待定系数法”的运用环境，但是并不是所有的求轨迹方程的题目都适合用“待定系数法”来解决。引出例3。（相关点法）

例3：在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

§师：提出问题“如果不能很快找到轨迹相应的模型时要怎么办？引起学生好奇心。P点在圆上运动，点P的运动引起了点M的运动，我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系，并有点P坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程，从而判断其轨迹。

解：设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，则xx0,yy0.

222因为点Px0,y0在圆x2y24上，所以x0y04.



把xx0,y02y代入方程，得

x2y21.

x4y4，即

422所以点M的轨迹是一个椭圆. （三）师：【探究二】

若将点M是PD的中点改为DM2DP,结果如何？

【思考】

从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？

（四）师：提出问题：【例4】

如图，A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积是4，9求点M的轨迹方程。

§引导学生寻找几何关系（垂直，平行，距离等），通过利用坐标和方程把相应的几何对象和几何关系表示出来，然后对坐标和方程进行代数讨论。逐步显示过程。

解：设点M的坐标为（x,y），因为A的坐标为（-5，0），所以直线AM的斜率是kAM同理可得BM的斜率是kBMyx5(x5)，

kAMkBMy(x5).

由已知有

x5yy4(x5)

x5x59x2y21001化简得259（五）师：【探究二】

(x5)

如果把例3中“直线AM与BM斜率之积是4”改成“斜率之积是m (m<0)时，当m变化时点M的9轨迹方程有什么变化”？

§分组探究，不妨取：m = -0. 5，m = -2，由学生合作讨论，引导学生发现“斜率之积”变化时对轨迹的影响，同时引导学生猜想出结论。

§教师予以解答结果的点评，回顾直接法的解题步骤，并再次强调求轨迹方程一定要注意检验。

（六）师：【探究三】

x2y21001的一动点，A、B的如果把题目的条件和结论互换一下看是否成立：如图，已知M为椭圆259坐标分别为（-5，0），（5，0）。求证直线AM与BM的斜率之积恒为4。

9解：设M(x0,y0)则kAMkAMkBMy0y,kBM0x05x05y0y0y022

（1）x05x05x025x2y2因为点M在椭圆1001上，259x02y02所以10012594（25-x02）即y0=92代入（1）得kAMkBM=-49

【拓展引申】

这个性质能不能推广到所有的椭圆呢？

x2y2已知M为椭圆221,(ab0)的一动点，A、B的坐标分别为（-a，0），（a，0）。求证直线AM与abb2BM的斜率之积恒为2。【教师板书】

a【实践】

§教师演示并说明鸟巢的某些桁钢支架结构特征符合我们例题的模型。

三、

课堂小结：

1、求轨迹方程的方法：①直接法，②相关点法。2、坐标法的应用3、学会探索问题和归纳结论

四、

课后作业：

1、

必做题：课本P50. 1 , P50. 2. x2y22、

探究题：已知M为椭圆221,(ab0)的一动点，A、B的坐标分别为（0，-b），（0，b）。

abb2求证：直线AM与BM的斜率之积恒为2.

a五、教学反思：