习题3.3公开课教案

直线方程的求法

汪义兴

教学目标

知识与技能

1.熟练掌握直线方程的五种形式，会根据不同条件选择恰当的形式直接写出方程. 2.会根据不同的条件选择不同的形式通过待定系数法求解直线的方程. 过程与方法

1.通过例题的教学，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力. 2.通过变式训练、能力训练，进一步激发学生的思维，培养他们的学习热情. 情感态度与价值观

通过例题的分析，培养学生严谨的思维品质，进一步加强分类讨论的数学思想. 教学重难点

重点：根据不同的条件选择不同的形式通过待定系数法求解直线的方程. 难点：分类讨论思想.

教学过程

一、知识回顾与梳理

直线方程的五种形式及其使用条件

名

称

已

知

条

件

标准方程

适用范围

点斜式

斜截式

两点式

截距式

点P，y1)和斜率k1(x1斜率k和y轴上的截距

yy1k(xx1)不垂直于x轴的直线

ykxb

yy1不垂直于x轴的直线 点P，y1)和点P2(x2，y2)1(x1y2y1 xxx1 不垂直于x、y轴的直线x2x1 不垂直于x、y轴的直线 在x轴上的截距a在y轴上的截距by1ab不过原点的直线

一般式

两个独立的条件 AxByC0A、B不同时为零

二、典例分析

1.直接法求直线方程：

根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．

例1：根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式.

（1）过点A2,3，且直线的倾斜角为135；

3（2）过点A0,2，且斜率为；

5（3）在x轴，y轴上的截距分别为3和4.

总结：直线方程有五种形式，一般情况下，利用任何一种形式都可求出直线的方程（不满足条件的除外）.但是，如果选择恰当，解答会更加迅速，本题中的三个小题，依条件分别选择了三种不同形式的直线方程求解.

强化训练：直线l经过点

P(3,2)，且倾斜角的余弦值为为_______________________. 变式训练：直线l经过点

P(3,2)，且倾斜角的正弦值为_______________________.

思考：已知直线

l 经过点

P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线

l

的方程. 2，则直线

l的方程225，则直线

l的方程为5

此题你还能用直接法直接求出直线的方程吗？

2.待定系数法：

先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

例2：已知直线

l 经过点

P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线

l

的方程. 分析：（1）直线

l

经过点

P(3,2)，可将直线

l

的方程设成什么形式？

（2）将直线的方程设成点斜式，需注意什么？

（3）直线

l

在两坐标轴上的截距相等，直线

l

的方程又可怎么设？

（4）将直线的方程设成截距式时，又需注意什么？

总结：用点斜式或斜截式求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0. 若不确定，则需分类讨论．

变式训练：已知点

A(3,4)．

(1) 经过点

A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为__________________；

(2) 经过点

A 且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为_____________________.

例3.（1）直线l与直线2x-y+1=0平行，且两直线间的距离为5，求直线

l 的方程；

（2）直线l与直线2x-y+1=0垂直，且点P（2,3）到直线l的距离为25，求直线

l 的方程.

分析：（1）与直线2x-y+1=0平行的直线可以怎么设？

（2）与直线2x-y+1=0垂直的直线可以怎么设？

综合训练：已知正方形的中心为点M（-1,0），一条边所在的直线的方程是x+3y-5=0，求正方形其他三边所在直线的方程. 三、综合应用

例4：已知直线l过点P2,1，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.

分析：由已知条件知所求直线过定点，故可设直线方程的点斜式求解．

变式训练：将问题改为求PAPB的最小值及此时直线l的方程.

强化训练：经过点P1,4的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（

）

A.x2y60

B.2xy60

C.x2y70

D.x2y70

四、回顾小结

1．求直线的方程可分为两种类型：一是根据题目条件确定点和斜率或两个点，进而选择相应的直线方程形式，直接写出方程，这是直接法；二是根据直线在题目中所具有的某些性质，先设出方程(含参数)，再确定其中的参数值，然后写出方程，这是间接法．

2．求直线方程时要注意判断斜率是否存在，还要注意斜率为0，直线过原点等特殊情形．

3．直线方程的形式多种多样，不同形式之间可以相互转化，最后结果都要统一化成一般式．

五、课后作业

课本P115 复习参考题B组4,8

课后思考：已知直线l经过点P3,1，且被两条平行直线l1:xy10和l2:xy60截得的线段长为5，求直线l的方程.