3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案及板书设计

3.1.1 倾斜角与斜率

南华中学校 罗钏丹

一、教学目标

1.知识与技能：

（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）理解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

2.过程与方法：

通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

3.情感态度价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

二、重点难点

1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系

2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题. 三、教学策略与方法

启发讲授式与问题探究式．

四、教学过程：[来源:Zxxk.Com]

（一）创设情境，揭示课题

问题1、在平面直角坐标系中，如何表示一个点？ 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点[来源:Zxxk.Com]

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

问题3、过点P与x轴形成45角的直线有几条？

如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。

0

1

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分l1与l2）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、

倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

ylPOx 学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出该图，问倾斜角在哪儿？如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

问题4、倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 0

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，

引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。

直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗?

答案是肯定的。所以一个倾斜角α不能确定一条直线。

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α。

这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。[来源:Zxxk.Com]

（二）巩固旧知，同化新知

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？ 坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量

2

当坡角增大时，坡度如何变化？[来源:学科网ZXXK]

当坡角900与00时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、

斜率的定义：

倾斜角不是900的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

⑴当直线l与x轴平行或重合时，α=0°，k = tan0°=0；

⑵当直线l与x轴垂直时，α= 90°， k 不存在。

由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。

例如：

α=45°时,，k = tan45°= ；

α=135°时，k = tan135°= tan(180°

－ 45°) = - tan45°= - 1。

问题6、当在[00,1800)内变化时，斜率k如何变化？

ylPOx

00<α<900α=900900<α<1800α=00k>0k不存在k<0k=0

（三）典型例题

例1：直线

l1、

l２、

l３的斜率分别是k1、

k２、

k３，试比较斜率的大小

例2：判断正误

①

直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α

3

②直线的斜率为tanβ，则它的倾斜角为β

②

因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 ③

因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 ④

直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

例3：填空

（1）

若α

，则k=________ ;若

,则α

（2）

若α

（

，

），则k

；若

（

，

），则α

；（3）

若

（

，

），则α

；若α

（

，

），则k

； （四）归纳小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线的斜率公式：ktan(90)。

（五）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。

五、板书

3.1.1直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角的概念

倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°

2.直线的斜率

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 六、教学反思、

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