习题3.1ppt配用优秀获奖教案

第三章

直线与方程

3.1.1

倾斜角与斜率

A组

1.若直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,直线l3的斜率不存在,并且l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3的大小关系是(

)

A.α1<α2<α3

B.α3<α2<α1

C.α1<α3<α2

D.α2<α3<α1

解析:因为直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,所以0°<α1<90°,90°<α2<180°.又因为直线l3的斜率不存在,所以α3=90°,所以α1<α3<α2.故选C.

答案:C 2.经过两点A(2,1),B(1,m)的直线的倾斜角为锐角,则m的取值范围是(

) A.m<1 B.m>-1

C.-11或m<-1 解析:kAB=

-

=1-m.

因为直线AB的倾斜角为锐角,所以kAB>0, 即1-m>0,所以m<1.

答案:A 3.在平面直角坐标系中,等边△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为(

) A.-2

B.0

C.

D.2

[来源:Z。xx。k.Com]

-

解析:如图,易知kAB=

,kAC=-

,故kAB+kAC=0.

答案:B 4.设直线l与x轴的交点为P,且倾斜角为α,若将其绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线l的倾斜角为α+45°,则α的取值范围是(

) A.0°≤α<90°

B.0°≤α<135°

C.0°≤α<180°

D.0°<α<135°

解析:∵α,α+45°均为直线的倾斜角,

∴

∴0°≤α<135°.

又∵直线l与x轴相交, ∴α≠0°.∴0°<α<135°.

答案:D

5.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则

的值等于(

) A.

B.-

C.2 解析:∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC, 即

-

-

D.-2

[来源学科网Z.X.X.K]

-

-

,即ab=2a+2b,两边同除以ab得1=

,即

.

答案:A

6.已知点P(1-a,1+a)和Q(3,2a),若直线PQ的倾斜角为0°,则a=

;若直线PQ的倾斜角为90°,则a=

.

答案:1

-2 7.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的两倍,则点P的坐标为

.

解析:设点P(x,0),则kPA=-

-

,kPB=

-

,

[来源学科网]于是

-

-

=2×,解得x=-5.

-

答案:(-5,0) 8.直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,它们的倾斜角α1与α2的关系是

.

解析:如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3, ∵α

3+α2=180°,∴α1+α2=180°.

答案:α1+α2=180°

9.

如图所示,直线l直线l

1的倾斜角α1=30°,1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.

解:l1的斜率k1=tan α

1=tan 30°=

∵

.

l2的倾斜角α2=90°+30°=120°, ∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-

.

10.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,

-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求: (1)直线l的倾斜角α的取值范围; (2)直线l的斜率k的取值范围.

解:(1)k

-

-

-

-

PN=

-

-

=-

,kPM=

-

=1, 所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图, 所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.

(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-

]∪[1,+∞).

B组

1.已知直线l的倾斜角为β-15°,则下列结论中正确的是

A.0°≤β<180°

B.15°<β<180°

C.15°≤β<180°

D.15°≤β<195°

解析:因为直线l的倾斜角为β-15°,所以0°≤β-15°<180°,即15°≤β<195°.

答案:D 2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(

) (

)

A.k1

B.k2

C.k1

D.k2

解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由图可知α3<α2<90°<α1,故相应斜率的关系为k1<0

答案:C 3.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(

) A.α+45°

B.α-135°

C.135°-α

D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°

解析:根据题意,画出图形,如图所示,

因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面.通过画图可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°,故选D.

答案:D 4.已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是

.

解析:M,N两点的横坐标相同,均为a,故直线MN与x轴垂直,从而直线MN的倾斜角是90°.

答案:90°

5.a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角?钝角?直角? 分析:根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角,则k>0,若为钝角,则k<0,若为直角,则斜率不存在.

解:当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kBA>0,根据斜率公式得kBA= -

-

>0,则a>1; 同理,当倾斜角为钝角时,kBA<0,即

-

<0,则a<1.

当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等.

即2a=2,故a=1.

6.在下列叙述中: ①若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k=tan α; ②若直线的斜率k=-1,则它的倾斜角为135°; ③若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的斜率不存在; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4);

⑤若直线的斜率为

,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.

[来源:学科网]

所有正确命题的序号是

.

解析:当α=90°时,直线的斜率k不存在,故①错误; 当倾斜角的正切值为-1时,倾斜角为135°,故②正确; 点A,B的横坐标都为1,所以直线AB与x轴垂直,斜率不存在,故③正确; 直线过点(1,2),斜率为1,又=1,所以该直线必过点(3,4),故④正确; 斜率为

的直线有无数条,所以该直线不一定过(1,1)与(5,4)两点,故⑤错误.

答案:②③④

-

-

7.已知A(-3,2),B(a,3),求直线AB的斜率.

解:当a=-3时,直线AB的斜率不存在;当a≠-3时,直线AB的斜率k=

.

8.(1)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.

(2)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.

(3)试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗? 解:(1)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OB旋转到OA的过程中斜率由负(kOB)到正(kOA)连续增大, 因为kOB=-

-

-

-

=-,kOA==1,

-

-

[来源学科网ZXXK]

所以直线l的斜率k的范围是-

≤k≤1.

(2)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OA旋转到OB的过程中斜率从kOA开始逐渐增加到正无穷大,这时l与y轴重合,当l再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到kOB.因为kOB=-

-

,kOA=

-

=1,所以直线l的斜率k的范围是k≤

或k≥1.

-

-

-