4.3.2 空间两点间的距离公式教案评析

3.3直线的交点坐标与距离公式

3．3.1 两条直线的交点坐标

3．3.2 两点间的距离

湖南省永顺县第一中学

田涛

●三维目标

1．知识与技能

(1)会用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

(2)会用方程组解的个数判断两直线的位置关系．

(3)掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单的几何问题．

2．过程与方法

(1)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程．

(2)通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性．

3．情感、态度与价值观

(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．

(2)体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题．

●重点难点

重点：判断两直线是否相交，交点坐标、两点间距离公式的推导．

难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用两点间距离公式证明几何问题．

重难点突破：以具体案例为切入点，先用多媒体让学生感知两直线相交的几何特征，然后引导学生借助方程的思想求其交点坐标．对恒过定点的直线系的探究，教师可通过几何画板，让学生通过“看一看、想一想”的方式给予突破．由于两点间距离公式是坐标法处理平面几何距离问题的有力工具，故可用几何问题代数化的思想导出两点间距离公式，同时渗透用代数方法解决几何问题的思想方法．

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点)

课标解读

2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)

3.掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)

【问题导思】

观察下列各方程组解的情况，及对应两直线的位置关系．

x＋y＝02x＋3y＋1＝0(1)；(2)；

x＋y＋1＝03x＋y＋2＝0x＋2y＋3＝0(3). 2x＋4y＋6＝0两条直线的交点坐标

【提示】

方程组(1)无解，对应两直线平行；方程组(2)只有5x＝－7一组解1y＝7

51，对应两直线相交，交点为－7，7；方程组(3)有无数组解，对应两直线重合．

两条直线的交点

已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组

A1x＋B1y＋C1＝0x＝x0，有惟一解则两直线相交，交点坐标Ax＋By＋C＝0y＝y，2220

为(x0，y0)．

【问题导思】

1．在x轴上两点A1(x1,0)，B1(x2,0)间的距离如何计算？

【提示】

|A1B1|＝|x2－x1|. 2．在y轴上两点C(0，y1)，D(0，y2)间的距离如何计算？

【提示】

|CD|＝|y2－y1|. 3．你能结合问题1、2推导出空间两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式吗？

【提示】

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. 两点间的距离

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12. (2)两点间距离的特殊情况

①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. 两点间的距离

③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

两条直线的交点问题

判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：

(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；

11(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝3x＋2；

11(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝3x＋2. 5x＋4y－2＝0，【自主解答】

(1)解方程组

2x＋y＋2＝0，

10x＝－3，得14y＝3.

1014所以l1与l2相交，且交点坐标为－3，3. 2x－6y＋3＝0，

(2)解方程组11y＝3x＋2，

②②×6整理得2x－6y＋3＝0.

①

因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，

l1与l2重合．

2x－6y＝0，

(3)解方程组11y＝3x＋2，

②②×6－①得3＝0，矛盾．

①

方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.

组的解的情况．

2．经过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.反之，若直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，则该直线过直线l1与l2的交点．

直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(

) A．2x＋y＝0

C．x＋2y＝0

B．2x－y＝0 D．x－2y＝0

1．判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程2x＋3y＋8＝0，【解析】

法一

解方程组得交点为(－1，－x－y－1＝0，

y－0x－02)，又直线l经过原点，由两点式得其方程为＝，即2x－2－0－1－0－y＝0. 法二

设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，因其过原点，所以8＋(－λ)＝0，λ＝8，直线方程为2x－y＝0. 【答案】

B

两点间的距离公式及应用

已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．

【思路探究】

可先在直角坐标系中画出△ABC，估计其形状，然后以边长和角为着眼点，分析印证估计的正确性．

【自主解答】

法一

∵|AB|＝

3＋32＋－3－12＝52，

|AC|＝1＋32＋7－12

＝52，

又|BC|＝1－32＋7＋32＝104，

∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

7－13法二

∵kAC＝＝，

1－－32－3－12kAB＝＝－3，

3－－3则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝

1＋32＋7－12＝52，

|AB|＝3＋32＋－3－12＝52，

∴AC＝AB.∴△ABC是等腰直角三角形．

1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，

主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．

3．利用平面上两点间的距离公式可以求点的坐标，方法是：根据已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足的条件，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解．

已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标．

【解】

设点P的坐标为(x,0)，

由|PA|＝13，得4－x2＋12－02＝13，

解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1,0)或(9,0).

运用解析法解决平面几何问题

在△ABC中，AD是BC边上的中线．

求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

【思路探究】

建立适当的坐标系“形”化到“数”――――――――→

“数”化到“形”坐标表示A、―→代数计算―――――

―――→几何关系

B、C、D各点【自主解答】

设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．

∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

1．坐标法定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．

2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

(2)用坐标表示有关的量；

(3)将几何关系转化为坐标运算；

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．

已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|. 【证明】

如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．

∴|AC|＝b－02＋c－02＝b2＋c2，

|BD|＝a－b－a2＋c－02＝b2＋c2. 故|AC|＝|BD|.

对称问题的求解策略

(12分)光线通过点A(2,3)在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．

【思路点拨】

求点A关于直线l的对称点A′―→求反射光线所在直线的方程―→求入射光线与反射光线的交点坐标―→求入射光线所在的直线方程．

【规范解答】

设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，

则y－3x－2＝1，002＋x03＋y02＋2＋1＝0，

解之，得A′(－4，－3).4分

由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，

所以反射光线所在直线的方程为

1＋3y－1＝(x－1)·，

1＋4即4x－5y＋1＝0. 4x－5y＋1＝0，解方程组

x＋y＋1＝0，

12得反射点P－3，－3.8分

所以入射光线所在直线的方程为

13＋3y－3＝(x－2)·2，即5x－4y＋2＝0.12分

2＋3

1．光线的入射、反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题．解决这类问题的方法是设对称点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．

2．点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组x＋xy＋yA·2＋B·2＋C＝000y－y0A－＝－1AB≠0，·x－x0B

求得．

A1x＋B1y＋C1＝01．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2x＋B2y＋C2＝0

A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．

2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．

3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．