习题1.3优秀完整教案

空间几何体的外接球问题

鹤岗市第三中学

王晶

设计意图：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

学情分析：

学生在高二系统的学习了立体几何，但是经过一年时间已经逐渐淡忘。高三的模拟题中一接触到外接球问题，稍复杂一点就不会了。我所在的学校为普通高中

教学目标：

知识与技能：学生学会用多种方法法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

重点：学会转化的思想方法。

难点：构造法的要点。

教学过程分析

教学内容与问题设置

复习球的体积和表面积公式。

球是高考出题的热点，我们的每套试卷上都有关于球的问题，球的问题关键是要研究球心位置和半径的大小

球经常和其它几何体结合出题，今天我们就来研究一下空间几何体的外接球问题

写题目

设计意图

知识准备。

活动一：

1.由球的定义确定球心

C'

A'

D'

B'

D

我们先来看长方体的外接球问题

AB

问：一个球要满足什么条件，我们就把这个球叫做长方体的外接球？球心的位置在哪？

问：如果给出长方体的长宽高，长方体的外接球半径怎么求？

问：如果是正方体，它的体对角线长和棱长什么关系那么我们有如下结论：

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

C

复习基本模型外接球问题。

从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

例题一

1．棱长为2的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表810面积为（

）

A . 4



B. 6



C.

D.

2．正方体的表面积为

24，那么其外接球的体积是（

）．

A．4



B．

8



C．

3

D．4

33233

3．长方体

ABCD

AA1A21B1C1D1ABAD2则长方体的外接

球的表面积_________。

活动二

（二）补形法

问：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．什么样的几何体可以补成正方体或长方体呢？

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

解决一个几何体的外接球可能有多种办法，让学生发挥想象，提出各种方法，通过比较生成对结合体外接球问题的认识。逐步完善学生知识体系。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

例题组2 2-1如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是 .

2-3.三棱锥S_-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2。△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为 . 2-3.在三棱锥ABCD中，

ABCD2,ADBC3,ACBD4，则三棱锥ABCD外接球的体积 .

活动三

（三）

由性质确定球心

问：如何确定球的球心？

O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

22外接圆半径r，球心到面的距离为d，Rrd

例题3-1

在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为2

的正三角形，平面ABC垂直于平面BCD，求外接球体积

4设计意图：

3我通过GEOGOBRA软件设计了例题的动画展示，使学生更加形

象的体会到球心的3-2.点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 ，若四面性质。

体ABCD体积的最大值为 ，

则该球的表面积为 .

利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心

课堂练习：

1. 一个几何的体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为

2. 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，则四棱锥的外接球的表面积为 P

CD

AB小结：1.学生回顾这节课复习到的内容。

•

2. 一、由球的定义确定球心

•

二、补形法确定球心 三、由性质确定球心

课后作业：

1. 三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直，PA=PB=PC=1，则其外接球的体积为_____

2.已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A．π B.6π C.5π D.8π

3.在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（

）

A.2π B.6π C.π D.24π

4.棱长为2的正四面体的外接球的体积为_____

5.四面体PABC中PA=BC=2,AB=PC=4,,AC=PB=3，其外接球的体积为_____

PA面ABC，6.三棱锥P-ABC中，PA=2，AB=BC=CA=2, 则该几何体的外接球的表面积为____

7.平面内，边长为2的等边三角形PAC，与等腰直角三角形ABC有公共边AC, ABC90,沿着AC把ABC折起，使PB=3,三棱锥P-ABC四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为____