3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课一等奖

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

四川省苍溪中学 数学组 杨岚

一、内容及其解析 《线的倾斜角与斜率》是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。本节内容是:直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是:直线倾斜角的概念和斜率的求法。理解它的关键是:在平面直角坐标系中,直线向上的方向与X轴正方向所成的角,和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标

（一）知识与技能

1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、斜率公式的推导过程，掌握过两点的斜率公式 （二）过程与方法

经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”思想。

（三）情感态度与价值观

1、通过直线倾斜角概念的引入学习，直线的斜率的定义，以及直线的倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流和评价能力。

2、通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合思想，树立辩证统一观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

三、学情与重难点分析

本次授课班级为重点班，相对来说，学生基础较好。本节课中教师主要采用问答式与学生分组讨论的形式进行，再由教师协助学生归纳总结的授课方式。

教学重点：直线的倾斜角，斜率的概念与公式。

教学难点：斜率的计算方法

教学关键：直线斜率的两种计算方法

教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜 角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法。

教学方法：提问，引导，讨论

学习方法：探究，思考，讨论，练习

1

四、教学过程

一、情景引入：初中时，我们知道，在平面直角坐标系中,两点可以确定一条直线。除此之外，在平面直角坐标系中，还有没有其它可以确定直线位置的几何要素？这就是我们本节课研究的主要内容：直线的倾斜角与斜率（板书课题）

二、探究分析

问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

学生作答：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同。

问题2：如何表示直线的倾斜程度？

教师分析，得结论：可以用角来表示（指明事物的发展变化都是相对的）

由此可以定义直线的倾斜角

三、概念定义

1、（1）直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴

正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 巩固练习1 下列四幅图中，表示直线倾斜角的是（ ）

yyy

ACx

学生继续观察下列四幅图得到倾斜角的范围。

D

xoxooy

Bo

x2 

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：

（2）直线倾斜角的范围：0≤＜180（特别规定0角）

理解倾斜角的概念需要注意两点：

（1）

当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

（2）

当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

（3）、直线倾斜角的几何意义：

体现了直线对x轴正方向的倾斜程度， 每一条直线都有一个确定的倾斜角。

巩固练习2：比较下列三条直线的倾斜角的大小关系（见课件）

问题3：已知直线的倾斜角，能确定直线的位置吗？

学生答：不能，如图，因为直线可以平行移动

结论：确定直线的方法：（1）两点

（2）已知一点和一个倾斜角

问题4：生活中，还有没有其他表示倾斜程度的量？

（设计意图：提出问题，引出要学的内容）

.

3

坡度（比）=升高量/前进量

（教师引导学生分析，从而得到斜率的定义）

2、直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率通常用小写的字母k表示，即：k=tan（≠90，=90正切值不存在）

注意：分类讨论思想

3、斜率与倾斜角的关系（见正切函数图像）

注意：数形结合思想

巩固练习3:

下列说法正确的是：

（1）、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （2）、直线的倾斜角越大，斜率也越大 （3）、平行于x轴的直线的倾斜角是 或 001800（4）、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （5）、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 （6）、直线斜率的范围是R

探究：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

师生活动：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？

y y P2（x2，y2）

P2（x2，y2）

P1（x1，y1）

P1（x1，y1）

X 

o o （2）

X （1）

yy4、两点间斜率的计算公式k21（x1≠x2）

x2x1公式的特点: (1)与两点的顺序无关; (2)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900 公式推导方法二：向量法

4

5、引申——直线的方向向量

四、典例分析

例1、如图，直线

l1

的倾斜角

1300 ，直线l2l1，求l1，

l2的斜率。

y1l2l12Ox0例2、（1）若60，则k_____ 若k3

，则_____

（2）若(300,600)，则k______ 若k(3,3则______

)，3（3）

若k(1,1)，则______ 若(600,1500)，则k______

例3、已知P(3,1),M(6,2),N(3,3),直线l过点P与线段MN相交，求直线l的倾斜角和范围。

五、课堂小结

1、内容 (1) 倾斜角的定义、范围、几何意义

（2）斜率的定义、公式、向量法、几何意义

（3）倾斜角与斜率的关系

2、数学思想方法：分类讨论、数形结合

六、作业：

1、教材P85 例1、例2、 P86： 3 2、已知直线l的一个方向向量a(3,3)，求直线l的倾斜角。

3、若三点A(4,5),B(2a,3),C(1,a)共线，则a_____

4、已知经过A(m,2),B(m,2m1)的直线的倾斜角为，且45135，试求实数m的取值范围。

5、已知M(1,5),N(3,2)，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的斜率。

00

5

七、板书设计

1、直线的倾斜角的定义：

范围：

几何意义：

2、直线的斜率的定义：

公式：

直线的方向向量：几何意义：

3、直线的倾斜角与斜率的关系（图）八、教学反思

————-分类讨论

——————数形结合6