3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案和学案内容

直线的倾斜角与斜率的教学设计

桃源九中 郑廷凯 一、教学目标

1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。

2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。

4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想及分类讨论的思想。

二、教学重点与难点

重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；

2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；

3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。

难点：斜率与倾斜角的关系

三、教学方法

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验- 1 -

公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

问题1、（出示幻灯片）

在平面直角坐标系中，点用什么表示？

直线呢？一条直线的位置由那些条件确定？

问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分L1与L2）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

（一）直线的倾斜角

1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

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练习1下列四图中，表示直线的倾斜角的是( ）

2 倾斜角的范围

思考：过直角坐标系中的任一点A所作的所有直线中，它们的倾斜角有那几类？

学生容易忽略与x轴平行的直线，如何规定倾斜角？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

自然有倾斜角的范围是[0，180）

3 倾斜角的意义

平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内- 3 -

一条直线的倾斜程度。

（二

） 直线的斜率

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

当坡角增大时，坡度如何变化？

当坡角=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

1、斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

思考1、当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

y o 

x 180(是锐角)

ktantan(180)tan如：倾斜角120，则斜率k3

思考2、当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？

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yoplxypolyopyxxpolxl0°＜＜90°= 90°90°＜＜180°= 0°k=0k >0k不存在k<0思考3、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

2，如何确定由两点确定的直线的斜率

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1

P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

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yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）Q （x1，y2）αOxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）P2（x2，y2）αOx解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P2Q中，tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan

QP2QP1y2y1yy1

2x2x1x2x1在RtP1P2Q中，tantany2y1（可让学生分组推导）

x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyyy2y1，即k21

x2x1x2x1- 6 -

思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（三）巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。

（1）A（3,2）,B（-4,1）（kAB）

（2）A（3,2）,B（4,1）（kAB1）

（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）

（4）A（3,2）,B（-4,2）（kAB0）

（四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）

1、明确了确定直线位置的几何要素。

2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）

17yyktanxx22113、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想

(五)板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率



（学生展示推导斜率公式的图形）



ktan（90）

为钝角时，

ktantan(180)tan

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（六）作业：P86 练习1，2

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