4.3.2 空间两点间的距离公式主要内容及教案内容

4.3.2 空间两点间的距离公式教案

泰来县第三中学

张文新

（一）教学目标

1．知识与技能：

使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下空间两点间的距离公式

推导一般情况下的空间两点间的距离公式

3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。（三）教学设计

教学环节

教学内容

在平面上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| =(x1x2)2(y1y2)2，复习引入

那么对于空间中任意两点A

(x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？

（2）空间中任一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？师生互动

设计意图

师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答

通过类比，充分发挥学生的联想能力。

概念形成

师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出

从特殊的情况入手，化解难度

|OP| =x2y2z2.

师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2

+ y2

= r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由

（3）如果|OP| 是定长r，那么概念深化

x2

+ y2

+ z2

= r2表示什么图形？

任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2 + y2 = r2

表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：人的认识是从特殊情况到一般情况的

|P1P2| =(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

巩固练习教师引导学生作答

1．先在空间直角坐标系中1．解析（1）6，图略

标出A、B两点，再求它们（2）70，图略

之间的距离：2．解：设点M的坐标是(0，0，z). 1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；

依题意，得

2）A(6，0，1)，B(3，5，7) (01)20(z2)2= 2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点(01)2(03)2(z1)2. B(1，–3，1)的距离相等. 3．求证：以A(10，–1，6)，解得z = –3. B(4，1，9)，C(2，4，3)三点所求点M的坐标是(0，0，–3). 为顶点的三角形是等腰三角3．证明：根据空间两点间距离公式，培养学生直接利形. 得

用公式解决问题能4．如图，正方体OABD

–

力，进一步加深理|AB|(104)2(11)2(69)27

D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 解

2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN|BC|(42)2(14)2(93)27，

的长.

|AC|(102)2(14)2(63)298. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形. 4．解：由已知，得点N的坐标为

a2a(,,0)，

33a2a点M的坐标为(,a,)，于是

33

aa2a2a|MN|()2(a)2(0)233335a.3

课外练习

布置作业

练习册

学生独立完成

巩固深化所学知识

（四）

课堂小结

（1）

空间两点间的距离公式是什么？

（2）

空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么？

（3）

如何利用坐标法来解决一些几何问题？

第二步：进行有关代数

第一步；建立坐标系，

运算

用坐标系表示有关的量

备选例题

例1

已知点A在y轴

，点B(0，1，2)且|AB|2【解析】由题意设A(0，y，0)，则(y1)4第三步：把代数运算结果

“翻译”成几何关系

5，则点A的坐标为

5，

. 解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2已知点A（1，-2,11）B（4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。（直角三角形）

例3坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标. 【解析】由题意设P(0，y，z)，则

yz2y1解得：

222222z1(03)(y2)(z5)(03)(y5)(z2)故点P的坐标为(0，1，1)