3.1.2 导数的概念公开课教案

《导数的概念》

慈利二中 田绍文

教学目标

1、知识与技能：

通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：

①

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

教学过程

1 创设情景、引入新课

提问：什么是平均速度？什么是平均变化率？

叫学生（平均速度某段时间内物体运动的位移与所用时间的比值，即s，平均变化率t即为yfx2fx1fx1xfx1）

xx2x1x幻灯片



回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存65在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并49思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

在学生口答，交流结果的基础上，提出

：我们得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况 呢？（同时观看视频）

引出课题——我们有必要研究运动员在莫个时刻的速度，即瞬时速度；也是我们这节课要研究的主要内容---导数的概念，板书课题

2初步探索、展示内涵

根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：



结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？

学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找到问题的思路。

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算vΔt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ………. h(2t)h(2)的值？

tv

-12.61 -13.051 -13.0951 -13009951 -13.099951 ….

Δt

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……. v

-13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 …

问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

h(2t)h(2)13.1

t0tlim问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

将2用t0代换，limh(t0t)h(t0)

t0t

借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？

让学生类比得到limr(v0v)r(v0)

v0v问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何呢？

f(x0x)f(x0)flim

x0x0xxlim由此我们得出导数的定义：lim记作f(x0)limf(x0x)f(x0)flim即yf(x)在xx0处的导数,x0x0xxf(x0x)f(x0)(也可记为yxx) 0x0x3循序渐进、延伸拓展

例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第2x h时候，原油温度（单位：c）为f(x)x7x15(0x8)

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出f(2)和f(6)

②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？（说明在第2时附近，原油温度大约以3摄氏度每小时的速度下降，在第6时附近，

原油温度大约以5摄氏度每小时的速度上升。）

③大家是否能用同样方法来解决问题二？

③

生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

例2：用定义求函数fxx2在x3处的导数. 练习

（1）求函数fxx2x在x1附近的平均变化率，并求出该点处的导数；

（2）已知yx32x1，求y'|x2

思

考：

函数fx，若limx0f2xf21，则f'x等于（

）

xA.-2

B.-1

C.1

D.2

4归纳总结、内化知识

（1）瞬时速度的概念

（2）导数的概念

（3）思想方法：

5 分层作业、板书设计

二、导数的概念

三、例题分析

一、瞬时速度的概念

§1.1.2导数的概念