小结公开课教案

《圆与方程》小结与复习（一）

福建省龙海市实验中学

郑国鹏

一、三维目标

1.

知识与技能：掌握圆方程的求法及直线被圆所截的弦长问题的处理方法

2.

过程与方法：采用启发、引导、分析和归纳相结合，并渗透严谨科学的解题思想和解题方法

3.

情感态度与价值观：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及严密的思维习惯和严谨的科学态度，提高学生的数学素养

二、学情分析

本节是复习课，学生已经学习了相关知识，但是学生基础比较薄弱，需要慢慢推进

三、重点难点

重点：圆方程的求法及直线被圆所截的弦长问题的处理方法

难点：求圆方程的方法选择及直线被圆所截的弦长问题中的勾股关系应用

四、教学过程

【引入】我们今天来复习《圆与方程》这章，关于这一章的主要内容我们先来看下面的知识网络图。

【讲授】

（一）知识网络图

1

（二）知识要点整合

1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径. 2.圆的方程

（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2. （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. （,），22当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为

DE半径

r12D2E24F；

当D2+E2-4F=0时，只表示一个点；

当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形. 3.点与圆的位置关系

圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，

圆心C（a,b），半径r，

若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2>r2; 若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2; 若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2

(1)直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交

判断直线与圆的位置关系的方法常见的有两种方法：

①代数法：

由圆C方程及直线L的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ

则圆C与l相离0

圆C与l 相切0

圆C与l 相交0.

②几何法：利用圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离dAaBbCAB22与半径r的大小来判定。

（1）dr直线与圆相交

（2）dr直线与圆相切

（3）dr直线与圆相离

5.与圆有关的弦长问题

①几何方法：运用弦心距、半径、半弦长

构成的Rt计算，即

|AB|2r2d2

②代数方法：运用根与系数关系（韦达定理），即

|AB|1k2xAxB 1k2xAxB24xAxB

2

其中k是直线的斜率，XA、XB是直线和圆交点的横坐标. 解析几何中，解决直线被圆所截的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法. （三）典例精析

重点突破（一）：圆的方程

例1 求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.

解析：（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.

解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，

因为圆心在y=0上,故b=0，

所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2 又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则

（1-a）2+16=r2 （3-a）2+4=r2

解得a=-1，r2=20.

故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为

dPC2124225r，

所以点P在圆外. 解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，

所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB=-1,故l的斜率为1, 又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，

所以半径

rAC1124220

故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为

dPC214225r，

2所以点P在圆外. 点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些，若已知圆过两点或三点也可以选用一般方程。

3

变式练习1求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.

解法1：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，

即（x-1）2+（y+3）2=25，

所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.

解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（4,1）,C（-3,0）两点，

所以圆心必在线段AC的中垂线l上,又因为kAC=

故l的斜率为

7

, 又AC,故线段AB的中垂线l的方程为7x+y-4=0. 同理可得线段AB的中垂线方程为x-2y-7=0 圆心也必在该直线上，所以由以上两方程联立可得圆心

O（1，-3）, 所以半径11,的中点为22

因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，

所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，

42+12+4D+E+F=0

62+(-3)2+6D-3E+F=0

解得

D=-2

F=-15.

(-3)2+02-3D+0·E+F=0

E=6 1014(3)7

rAO132(46)25

所以圆的方程为（x-1）2+（y+3）2=25，

所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.

重点突破（二）：直线被圆所截的弦长问题

例2 已知过点

M3,322xy4y210

的直线l与圆相交于

A,B

两点，若弦AB的长为

215，求直线l的方程. 解析：因为直线已经过一已知点，所以求方程关键求斜率，可用点斜式假设方程再利用弦心距、半径和半弦长构成的勾股关系求斜率，要注意讨论斜率是否存在。

解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为x3

4

2y4y120，

弦|AB||yAyB|268

此时有所以不合题意，故设直线的方程为将圆的方程写成标准式得圆心到直线l的距离dy3kx32，即

kxy3k30

x2y225k21

，所以圆心（0，-2），半径r5

|3k1|因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，

15所以

23k1k12225

解得

k3

所求直线的方程为3xy120

10

，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得变式练习2 已知圆的半径为的弦长为42，求圆方程。

解：

根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾422dr2（）10822股定理，可得弦心距

因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离，

所以dab22，

又已知b=2a，

解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.

（四）小结

本节课我们主要复习了圆的方程、直线与圆位置关系等知识，也讲解了相关例题通过刚才的例题我们要明白：（1）求圆方程的方法既可以用待定系数法也可以利用圆的性质直接求出圆心和半径（2）处理直线被圆所截弦长问题时主要利用半径、半弦长和弦心距构成的勾股关系求解，大家要多去体会，课后要多练习，争取能熟练掌握。

（五）课后作业

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1.

求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．

2.求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．

3.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:yx1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线方程.

4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，求△ECF的面积.

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