习题1.1教学创新设计

空间几何体的结构

一、选择题

1．正四棱锥的侧棱长和底面边长都是2，则它的体积是

(

)

A．42

B．42

3C．43

D．43

32．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为

(

)

(A)模块①，②，⑤

(B)模块①，③，⑤

(C)模块②，④，⑥

(D)模块③，④，⑤

3．将正三棱柱截去三个角(A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到一个几何体，则该几何体按图中所示方向的侧视图(或称左视图)为

(

)

4．如果圆柱轴截面(经过上、下底面圆心的平面与圆柱相交所得的截面)的周长为6，那么圆柱体积的最大值是

(

) 1

(A)27π

32(B)8(C)27π

8(D)

二、填空题

5．用一个平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离是________．

6．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，AA1＝b，P为上底面中心，则四棱锥P－ABCD的体积是________；当a，b满足条件________时，四棱锥P－ABCD的侧面积比正四棱柱ABCD－A1BC1D1的侧面积小．

7．已知正方形ABCD的边长是a，E，F分别是AD，CD的中点，将正方形沿BE，BF，EF折起，使得A，D，C三点重合于一点，记该点为P，则三棱锥P－BEF的体积是________．

8．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm．把它们两个全等的面重合在一起构成一个大长方体，则大长方体的对角线最长为________．

三、解答题

9．如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD＝a，AB＝3a．

(1)求证：CD⊥AS；

(2)求三棱锥D—SBC的体积．

10．如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，D是BC的中点，A1D⊥平面ABC．(1)求证：BC⊥A1A；(2)若A1A＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

11．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m，AC＝n．将△ABC以BC边为轴旋转一2

周，得到一个几何体．(1)求此几何体的体积；(2)设△ABC的面积为积的最大值．

1，求该几何体体2

12．如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝1，∠PDC＝0π．

2

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)记三棱锥P－ABC的体积为V，当V∈

26,时，求的取值范围．

1212参考答案

测试25

空间几何体的结构

一、选择题

1．C

2．A

3．A

4．D 提示；

4．设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝6，即h＝3－2r．

圆柱的体积V＝πr2h＝πr2(3－2r)＝π(－2r3＋3r2)，

则V＝π(－6r2＋6r)，令V＝0，注意到r＞0，解得r＝1．

当r∈(0，1)时，V＞0;当r∈(1，＋)时，V＜0．

3

从而当r＝1时，V取得最大值π．

二、填空题

5．2 6．121ab；a23b 7．a3 8．55cm 324三、解答题

9．(1)证明：∴SD⊥平面ABCD，∴CD⊥SD．又四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥AS．

(2)解：三棱锥D－SBC的体积VDSBCVSBCD111(3a)2aa3．

32210．(1)证明：连接AD．∵A1D⊥平面ABC，∴BC⊥A1D．

∵D是正三角形ABC的边BC的中点，∴BC⊥AD，

∴BC⊥平面A1AD，

∴BC⊥A1A．

(2)解：∵A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥AD．在Rt△A1DA中，AD＝ABsin60°＝23，

A1DA1A2AD226．

∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积V11．(1)解：作AD⊥BC于D．

32426242．

4依题意，所得几何体为两个共底面的圆锥．在Rt△ABC中，∵BC＝AB2AC2＝m2n2，∴AD＝ABACmn＝．∴该几何体的体积为

22BCmn11πm2n222Vπ AD(BDDC)π ADBC．

333m2n2

4

(2)解：∵△ABC面积为221，∴mn＝1．

2πm2n2π12mn2mn2，Vπ∴当且仅当m＝n＝1时，223mn326该几何体的体积取得最大值2π．

612．(1)∵AC＝BC，

∴△ACB是等腰三角形，

又D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，

∴AB⊥平面PCD．又AB

平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PCD．

(2)在Rt△PCD中，CDPC＝CD·tan2，

22tan．

2

∴三棱锥P－ABC的体积V11122SΔABCPCtantan，

332212226tan，得1tan3，

121212πππ0，．

243令5