实习作业 走进微积分多媒体教案及点评

一师一优课

一课一名师

第三章 导数及其应用

《走进微积分》实习作业

（人教A版高中课标教材数学选修1-1）

教学设计

授课教师：

马娟 石嘴山市光明中学

2019年6月

一、学习内容解析

微积分是研究变量和变化规律的科学，它的创立是数学发展史中的里程碑。微分学和积分学的合称是微积分，即分别从“局部”和“整体”的角度对函数进行“细分”和“累加”，用以研究抽象、无限、运动的非理想化模型。微积分具有丰富的内容和深刻的思想，高中阶段的微积分为人们从辩证的角度认识客观世界，提供重要的思维模式和解决问题的方法，是打开科学大门的钥匙，也是学***学课程和科技知识的基础。

本节课学生是在学习导数及其应用的基础上，学习微积分的背景及简单思想方法，加深了学生对有限和无限、精确和近似的理解，是学生思维与运算的“智力体操”。微积分抽象、复杂，不宜形式化的教学，但其直观的思想方法却能够切实解决实际问题，因此，本节课淡化概念及公式，加强对数学原理和数学背景的理解，重视实践，采用自主开放的学习方法，以小组为单位，利用课余时间查阅背景资料，在课堂上合作解决数学模型问题，发现数学美，走进微积分。

教学重点：1.查阅资料，了解微积分的背景及相关人物。

2.理解微积分的方法，能利用微积分思想度量非理想模型。

二、教学目标

1.收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，自主学习、表演交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

2.结合历史人物，巩固已学三类微积分问题：求运动物体的瞬时速度、求曲线上任意点处的切线、求函数的最值。

3.小组合作探究，解决第四类问题：求曲线长、曲面面积、曲面围成的体积，提升学生的抽象思维、逻辑推理、数学建模和表达交流素养。

三、学生情况分析

学生在学习本节课以前，已经学习了变化率、导数、切线和最值问题，能感受到微积分在解决数学问题和实际问题中的作用，另外学生在义务教育阶段中学***面图形的面积和几何体的体积问题，对度量模型的方法和手段都有所了解。本节课是类比理想化模型，融入数学文化，利用微积分思想研究非理想模型的实践课。需要学生不仅对数学史及有关人物有所了解，还需利用微积分的数学

方法，分析、解决实际问题。对大部分学生来说，对微积分较为陌生，无法理解其中的“有限—无限”、“精确—近似”辩证思维，畏难情绪较高，动手能力较差，无法直观想象几何模型的“细化”与“累加”的过程、“局部”与“整体”的关系，利用数学思维解决实际问题还有一定的困难。

教学难点：1.类比已学面积、体积问题，利用微积分推理解决实际问题。

2.经历数学建模的全过程，用数学语言解释实际问题。

四、教学策略

本节课采用讨论式课堂教学模式，即在教学过程中，以问题为轴心，研究非理性化模型，以学生为中心, 为学生提供自由表达、质疑、探究和讨论微积分思想方法的机会，在教师的引导下通过合作学习、多向交流, 建立和分析数学模型，用抽象思维、猜测推理的方法获得微积分的思想方法，利用数字化手段完善思维，不断丰富对知识的理解和感悟. 五、教学过程

（一）查阅资料·完成作业·汇报表演

【汇报】学生表演话剧《微积分发展史》，上交《实习作业》。

【设计意图】以学生的汇报表演为切入点，将家庭作业“艺术化”，助推学生主动了解数学文化，开阔视野，提高学生的数学素养，并使之感悟到终身受益的微积分中蕴含的人文精神。

【辩论1】一滴水免费，一杯水免费吗？

【师生活动】学生回答问题，教师梳理其中蕴含的微积分思想：对一杯水微分就是一滴水，对每滴水积分就是整杯水。

【过渡】微积分是高等数学的研究内容，它的研究对象包括极限、微分、积分及其应用，高中阶段我们只了解它的思想方法：无限逼近、无限细分、无限求和和数学建模。

【设计意图】用“一滴水”与“一杯水”的实例关系，鼓励学生辩证思维，体会微积分“第一印象”的魅力，梳理微积分的知识框架，为利用微积分思想方法解决实际问题做好准备。

（二）融入历史·软件展示·巩固已学

【过渡】让我们利用软件的动态演示，结合历史，一起回顾已学三类微积分

问题。

【回顾1】古希腊的亚里士多德曾说“重快轻慢”，近2000年后，意大利1的伽利略在比萨斜塔上证明“一样快”，而且物体下落的规律满足sgt2。2怎么求第三秒的瞬时速度？

【回顾2】1514年，波兰的哥白尼提出了“日心说”，推翻了1000多年的“地心说”，更正了人们的宇宙观，1609年，德国天文学家开普勒发表了行星运动的定律。地球的运动轨迹为椭圆，怎么求某点处的切线方程呢？

【回顾3】17世纪的欧洲只有三年没打仗，因此，弹道学在当时极速发展，怎么让炮弹打得更远呢？

【师生活动】学生简述求解方法，教师归纳已学3类微积分问题：瞬时速度、切线和最值。

【设计意图】回顾本章已学微积分相关内容，用数学软件展示相应的图形，在动态演示中让学生产生感性认识，更好地从数、形结合中去理解局部与整体的关系。

（三）小组建模，共同学习

【过渡】今天，我们来计算微积分的最后一类问题：曲线长、曲面面积和曲面围成的体积。

【模型1】观察光明中学校服背后字母“guangming”，计算第一个字母“g”的笔画长。

【模型2】类比小学圆面积公式的推导过程，计算曲边三角形纸片的面积。

【模型3】利用小刀切割模型，对球的体积公式进行实验证明，并说出推导过程。

【模型4】利用小刀切割模型，计算甜甜圈的体积。

【师生活动】全班学生自由分成4组，每个小组完成一个模型问题，在经过足够的思考、探究、讨论、操作和汇总后，每组派代表上台展示计算结果，并总结其中蕴含的微积分思想方法。教师及时把握学生动态，利用SKU展示建模过程，恰当的分解难点，使“学”与“教”的节奏保持一致。

1.

“g”字母利用绳子弯曲覆盖，之后拉长度量，本组计算了10次的平均值，结果为9.80cm。

2.

计算不规则纸片的面积，本组经历了：三角形的割补→2个小梯形→10个小矩形，结果为27.85cm2

3.

在切割球体的过程中，本组先在球体表面画圈，尝试切割了四次后，发现球体能切割成无数个小椎体，而椎体的高就是球体的半径，又经过了老师的点拨，发现椎体的底面积之和为球的表面积，从而得到球体的体积公式：144R2RR3。

334.

本组首先将甜甜圈切成了8个小块，想分别计算每个小块的体积，后来组员在摆弄过程中，将小块摆成了一排，拼成了一个近似的圆柱体，计算的体积约为：29.60cm3。

【设计意图】本环节引入数学实验，适当降低微积分的严密性，增加数学的直观性、思想性和应用性。学生基于问题合作，对模型进行研究性学习，加强沟通交流，发挥团队优势，充分调动学生的积极性，完成知识建构。学生利用已学极限、转化和以直代曲等微积分知识，亲身体验解决问题的过程，感受微积分的生动、有趣。利用信息技术完成一些过于抽象的建模过程，让微积分“飞入寻常百姓家”，使得人人在其自有程度上获得应有的数学发展，利用“火热”的思考完善数学思维，

突出教学重点。

（四）反思小结，作业布置

【问题2】《庄子·天下篇》：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”真的不竭吗？

【问题3】古希腊芝诺提出：“飞矢不动。”即飞出的箭在每一时刻都有一个固定的地方，那么箭在此刻就是不动的。真的不动吗？

【问题4】回顾本节课的学习过程，写出你走进微积分的感受。

【设计意图】请学生发言，鼓励不同见解，教师适当总结其中所蕴含的数学思想和方法。安排课后作文，使学生继续加深对微积分的理解和应用，学生可以上网查阅资料，拓展知识面，进一步了解微积分的价值和意义。

附1：

《走进微积分》实习报告

实习题目

学生姓名

实习主要内容

一、实习目的、意义和要求

二、实习内容（结合生活实际，调研微积分的背景及相关人物）

三、实习总结或体会

四、教师批阅意见

班级

附1：

《微积分发展史》话剧剧本

演员表：8人

1.旁白 2.阿基米德 3.庄子 4.伽利略

5.开普勒 6.牛顿 7.莱布尼茨 8.笛卡尔

（旁白一直站在角落读，声音要大，朗诵的语言）

白：很久很久以前，数学只能算静态，不能算动态。

（阿基米德出场，身上斜围白毛巾，骄傲的表情，激昂有节奏的语言）

阿：我是阿基米德。我会算不规则的面积和体积。

（庄子出场，手拿扇子，风度翩翩，走路8字，语速要慢且稳）

庄：吾乃庄子，一尺之锤，日取其半，万世不竭！

阿/庄：我们的积分学思想，比你们早2500年！啊哈哈哈哈哈！（笑声退场）

白：这些极限概念，正是微分学的思想基础。微积分的研究始于十七世纪初期。

（笛卡尔拿尺子，上场）

笛：我是笛卡尔，我发明了直角坐标系，将数与形相结合，为微积分的发展奠定了基础。

（伽利略和开普勒上场，手挽手，拿望远镜放大镜）

开：hello，everyone.my name is开普勒。

伽：hello，everyone.my name is伽利略。

开：我发现，行星的运动轨迹是椭圆，而且满足三大定律。

伽：我发现，物体下落过程不是匀速运动，而且先慢后快。

白：速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度，这些概念在当时都太难理解。

开：为什么行星在运动中的速度在不停地变化呢？

白：该怎么描述切线、法线的概念呢？

伽/开：我们去世后，成果和困惑留给后人吧！

白：之后，一代代的数学家们都对数学工具发起了总攻，直至微积分的发明。然而，谁也没有想到，这个划时代的重大成果竟然导致了世界科学史上的一桩公案，微积分究竟是谁发明的。

(牛顿、莱布尼兹出场，各站一边，头戴假发，辩论，手举正方、反方牌子）

莱：我是莱布尼兹。我家很富。

牛：我是牛顿。我家里很穷。

莱：我爸是哲学教授。

牛：我爸是农民。

莱：我是天才。

牛：我是农民。

莱：我17岁获学士学位。

牛：我17岁差点辍学。

莱：我18岁获硕士学位。

牛：我19岁考入剑桥大学。

莱：我20岁获博士学位。

牛：我25岁获硕士学位。

莱：在巴黎，我结识了惠更斯，决心钻研数学。

牛：在家乡，我躲避瘟疫，突然树上掉了一颗苹果，我发现万有引力、光学原

理。

莱：26岁，我开始研究学术。

牛：26岁，巴罗主动将教授职位让给我。

莱：38岁，我发表了微积分论文。

牛：45岁，我出版了《自然哲学的数学原理》，提到了微积分。

莱：可是微积分是我先发明的。

牛：可是你和我的差不多，只是符号不一样。

莱：我是第一个发表的。

牛：你抄我的。

莱：我是第一个发表的。

牛：61岁，我发表《流数理论》。看，我也发表了。

莱：我是第一个发表的。

牛：你抄我的。

莱：我是第一个发表的。

牛：你抄我的。

牛/莱：我发明的！

白：在之后的100年间，没有人知道到底是谁发明了微积分。现在，经过历时考证，牛顿和莱布尼兹的方法和途径均不一致，对微积分的贡献也各有所长。

牛：我的微积分与运动学结合，为微积分的应用开辟道路。

莱：我的微积分从几何出发，为微积分提供了简明的符号体系。

白：因此，微积分的发明为两人共同享有！微积分公式称为牛顿-莱布尼兹公式。

白：人类社会能从农业文明跨入工业文明，微积分起到了决定性的作用。城市的繁荣，交通工具的不断进步，航空航天领域的飞速发展，给人类社会带来了日新月异的变化。

合：而这一切，都离不开微积分的诞生。

（集体摆造型，鞠躬，下台）