阅读与思考 笛卡儿与解析几何优质教案设计

新课程教学案例设计：《笛卡尔与解析几何》

---点到直线距离问题的证明再研究

黄石三中 耿志东

一、前期准备

教学内容分析

1、了解数学历史，感悟数学文化，认识解析几何，对比研究方法，提炼通性通法。

2、学生经历梳理知识、运算演练、提炼方法、感悟思想的过程，提升数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算素养。

3、向量法可用来理解代数与几何的纽带工具，同时也可简化运算，体现了其强大的工具性，同时更为后续学习距离问题做了一定的铺垫作用和提供了良好的素材。

1、高一学生在此阶段还不具备很强的计算能力和完善的思维能力，但是前期对距离问题已能用面积法和解析几何的方法解决。

2、课前学生已查阅相关资料，对笛卡尔和解析几何已有部分了解。

3、本课主要研究对方法的探究，对比前期的证明方法学生更期望如何简化思想与运算。

本节内容是教材中阅读与思考内容，课堂中是借助此内容来强化和认识解析几何，更好的理解数学中数形结合的精妙，通过对距离问题证明的探究来理解解析几何，向量法也是更好的把代数与几何完美的融合到一起，更加简化了运算，形成了程序的思想方法。

1、方法的提炼与运算能力的培养。

2、研究方法的对比以及思想的提炼。

引导式探究法

学情分析

教材分析

重难点分析

教学方式分析

二、主题设计

教学流程：

人物生平简介

（视频展示，诙谐易懂印象深）

解析几何的诞生与意义

（代数与几何的融合，数与形的完美呈现）

点到直线距离公式的证明探究

（动画展示，方法探究，比较优劣，强化思维，掌握程序）

思想总结

结论归纳

思想与方法升华

【主题教学目标】

了解数学历史，感悟数学文化，认识解析几何。针对距离问题，通过几种研究方法的比较，提炼解决问题的通性通法。在教师指导下，学生经历梳理知识、提炼方法、感悟思想的研究过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。通过向量法的运用体会向量法在代数与几何之间的联系纽带作用，体现其强大的工具性，这样的教学可以为后续学习距离问题、空间向量与立体几何中距离问题的学习提供素材。

【主题教学情境】

在“几何与代数”内容的阐述中强调：“通过几何图形建立直观，通过代数公式表达规律。”正如希尔伯特所说:“算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图象化的公式。没有一个数学家能缺少这些图象化的公式，正如在数学演算中他们不能不使用加、脱括号的操作或其他的分析符号一样”。距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体。在基础教育阶段涉及的距离问题主要有：两点间距离，点到直线距离，平行线之间距离，点到平面距离，直线到平面距离平行平面之间距离，异面直线之间的距离。

计算距离的方法有很多，可以用综合几何方法，也可以用解析几何方法，还可以用向量方法等等，本节课主要让学生体会向量法的优越性，让学生感受到向量是联系代数与几何之间的纽带，同时也为后续学习奠定基础，提高学生的思维方法。

一、教学片段1 了解数学历史，感悟数学文化

法国数学家笛卡儿( Descartes,1596-1650)是解析几何的创始人，他的中心思想是使代数和几何结合起来。解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优缺点，他认为，没有任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物非常有益，但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安，他还批评希腊人笛卡儿的几何过多地依赖图形，他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学。他认为，代数具有一般性，代数中的公式可以使解题过程机械化；代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。可能不久他自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了(在他去世后人们将它出版)。他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解。笛卡儿把方程用于几何，创立了解析几何1637年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，

《几何学》就是其中之《几何学》是笛卡儿所写的惟本数学书。笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。

差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马( Fermat,1601—1665)在自己的研究中也独立地得到了用方程表示曲线的思想。因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期。正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

二、教学片段2 梳理求平面上点到直线距离的几种方法。

1、综合几何方法。

给定过点A，C的直线l，B为直线l外一点，求点B到直线l的距离。因为过点A，B，C可以得到一个平面上的三角形，因此求距离就等价于求三角形的高。

基本思路：用余弦定理确定∠A，再用正弦函数值求出AC边上的高。

2、解析几何方法。

建立平面直角坐标系，确定点B的坐标和过点A，C的直线L的方程，然后求点B到直线l的距离。基本思路是求与直线Z垂直的直线的斜率，再求过点B的点斜式直线方程，最后求这两条相互垂直直线的交点。交点与点B的距离就是点B到直线l的距离。

3、三角形面积法。

4、向量方法。

建立平面直角坐标系，确定点B的坐标和过点A，C的直线l的法向量，求点B到直线l的距离。

基本思路：求向量AB到法向量的投影向量，投影向量的长度就是所要求的距离。【分析总结】

归纳结论

1、

通过处理距离问题三种方法的对比，可以知道垂直反映了距离的本质，垂直意味着线段长度最短，借助勾股定理可以直观准确地揭示这个本质，两点间距离公式以及向量投影都可以看作是勾股定理的应用。可以让学生在比较的过程中分析不同方法的共性与差异，进而发现解决问题的关键。

2、

法向量是反映垂直方向的最为直观的表达形式，法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画。在这个过程中，向量与起点无关的自由性为求距离带来很大的便利。归纳用向量研究上述距离问题的方法，可以得到通性通法，即程序思想方法：

第一步，确定法向量；

第二步，选择参考向量；

第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；

第四步，求投影向量的长度。

通过以上分析，可以体会借助几何直观的必要性：可以启发运算思路，甚至可以得到解决问题的程序。程序思想方法具有解决类数学问题的功能，是计算(特别是运用计算机进行计算)的基本思想方法。

【拓展提高】

引导学生用向量方法想象和思考空间距离问题的求解程序，并引导学有余力的学生查阅高等数学中有关的距离问题。

三、主题评价与反思

本堂课的设计基于新课程标准学生数学文化与素养的形成而设，通过对阅读与思考内容的探究思考借助实例学习新文化，掌握新技能。此课研究有助于学生了解数学历史，感悟数学文化，认识解析几何。针对距离问题，通过几种研究方法的比较，提炼解决问题的通性通法。在教师指导下，学生经历梳理知识、提炼方法、感悟思想的研究过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，本节对距离问题的证明方法就是抽象方法的过程，能够形成数学的方法与思想。同时教学中一个简单的动画演示能学生能够直观的感受距离的实质，进而引导学生进行思考，提升学生的直观想象与逻辑推理能力，通过对几种方法的对比和对向量法的具体操作，更能体现学生的数学运算素养。在这个思考过程中，有个别学生也有自己的思考和证明方法，也体现了学生能够从数学的视角发现问题、解决问题、分析问题和建模的能力素养。

通过向量法的运用体会向量法在代数与几何之间的联系纽带作用，体现其强大的工具性，这样的教学可以为后续学习距离问题、空间向量与立体几何中距离问题的学习提供素材。本节课主要让学生体会向量法的优越性，让学生感受到向量是联系代数与几何之间的纽带，同时也为后续学习奠定基础，提高学生的思维方法。

通过课堂实录，收获了很多，通过对教学设计的预期目标与实际收获对比，学生各方面的数学素养均有所提高，但也存在一些教学中需要探讨和改进的问题，也是以后教学的一个思考方向，本阶段学生的运算能力不强，思考方式与思维水平也不够完善，很难达到完美的教学效果，课堂不能游刃有余，课堂稍显沉闷，不够活跃。另外，为了能达到培养学生良好的数学素养，光靠课堂也是不够的，需要学生后续的思考与总结，进而使数学的思想与方法得到升华和延续，为后续学习做铺垫。