1.2 充分条件与必要条件（通用）优质课教案整理

1.2 充分条件与必要条件(人教版) 教学目标：

1．理解充分条件、必要条件的意义；

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件的方法；

3．培养学生的辩证思维能力．

教学重点：理解必要条件、充分条件的意义及判定方法．

教学难点：理解充分条件、必要条件的的意义．

学生已具备知识点：初中学了原命题和逆命题，知道命题的真假，知道条件和结论。

教学过程：

一、问题情境

上课！同学们好！（老师好！）请坐！今天这节课将由我和大家一起来学习和研究一个数学知识，你们想知道我们即将要学习和研究的内容是什么吗？

生：想！

师：在开始我们的学习和研究之前，我想先问大家一个问题，我刚才说的两句话是命题吗? （学生窃窃私语）

师：什么是命题？

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

师：那刚才的两句话是命题吗？

生：第一句是。

师：嗯。对于命题，我们可以去判断真假。我这儿有一组命题，你们来判断真假。

（PPT）

判断下列命题的真假：

（1）

若x＝y，则x2＝y2；

（2）

若x＜1，则x＜5；

（3）

若ab＝0，则a＝0；

（4）

若a＞b，则a2＞b2。

分析：（1）是真命题；（2）是真命题

师：怎么判断的？比1小的数，一定比5小

（3）是假命题。

师：能举出反例吗？b为0。

（4）是假命题。

师：能举出反例吗？

x,y互为相反数。

师：我们回过头来看一下这四个命题，命题1是真命题，(黑板板书第二列第一行“若x＝y，则x2＝y2”是真命题) 说明若x＝y与x2＝y2之间有着因果关系，我们在用它进行论证时，通常会写成“∵x＝y，∴x2＝y2”，(边说边黑板板书第二列第二行∵----∴----) 换句话说，由x＝y，，可以通过推理得出x2＝y2。在书写时，我们可以把这个“因为---所以---”这个逻辑推理的过程用一个符号表示，记作，读作“推出”，也就是x＝yx2＝y2 (黑板板书第二列第三行--------)

“若x＝y，则x2＝y2”这个命题是真命题，与“∵x＝y，∴x2＝y2”，以及“x＝yx2＝y2”是同一件事物的三种不同的表达形式。

接下来，看命题2，就很简单了，“若x＜1，则x＜5”是真命题，说明∵x＜1，∴x＜5，换句话说，由x＜1可以推出x＜5。

接着看（3）这个命题。若ab＝0，则a＝0这是假命题，说明由ab＝0通过推理得不到a＝0，用什么符号表示推不出呢？你们想想！

生：加斜杠！

师：对，如同不等号一样，只要在推出上加个斜杠，表示推不出。那就记作：ab＝0/a＝0 （5）

同理，第四个假命题，即a＞b/a2＞b2。

师：一般地，像这样的形式，若什么，则什么，我们抽象成“若p，则q”（板书第一列第一行：“若p，则q”），满足什么条件时我们可以记作pq？

生：“若p，则q”为真命题。

师：对的，（板书第一列第一行：为真命题）“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可推出q，记作pq（板书第一列第二行：记作pq）

那满足什么条件时，记作p/q？

生：“若p，则q”为假命题。

师：对的，（板书第一列第三行与第四行）“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p/q 二、数学理论1 一般地，如果命题“若p，则q”为真，就记作“pq”；如果“若p，则q”为假，就记作“p/q”．

那我们来做个练习：

用符号“”或“/”填空：

(1)

小明是南京人_____小明是江苏人；

(2)

两个三角形面积相等____两个三角形全等；

(3)

x＞5_____x＞1；

(4)

x2＝y2_____ x＝y

(5)

a、b都是偶数____a＋b是偶数

.

分析：

(1)中，如果小明是南京人，那么小明是江苏人是真命题，记作，也就是小明是南京人推出小明是江苏人

（2）中，如果两个三角形面积相等，那么两个三角形全等，不一定的，这是假命题，记作/，说明面积相等的三角形推不出全等

（3）中，如果x＞5，则x＞1是真命题，大于5的，一定大于1，记作，也就是x＞5能推出x＞1 （4）中，/

（5）中，

师：pq，说明p与q之间之间有着因果关系，也有着内在的逻辑关系。首先我们来看第一个“小明是南京人”“小明是江苏人”

大家想一想“小明是南京人”与“小明是江苏人”这两者之间有着怎样的逻辑关系呢，你能用文字语言表述吗？

大家可以讨论讨论。（2分钟左右，可以参与到学生中去，引导学生发现）

学生：----（不评价不引申，直接写在黑板上，等学生说完了，我再作分析，有什么写什么，不解释）

注意：学生会脱口而出，包含啦，是南京人就一定是江苏人啦

这时，老师一定要指出，大家只是在解释或证明为什么“小明是南京人”“小明是江苏人”，也就是在解释为什么是推出，而不是刻画两者之间的逻辑关系。大家再想想。

①“小明是南京人”可以得到“小明是江苏人”，

只要有“小明是南京人”，就一定有“小明是江苏人”，

师：也就是“小明是南京人”能充分保证“小明是江苏人”，

也就是“小明是南京人”是保证“小明是江苏人”的一个足够的条件

②小明是江苏人，小明不一定是南京人；

“如果小明是江苏人，那么小明是南京人”这是个假命题

“小明是江苏人”推不出“小明是南京人”

③如果小明不是江苏人，那么小明肯定不是南京人

也就是：没有“小明是江苏人”，就一定没有“小明是南京人”；

即，如果不具备“小明是江苏人”，那么“小明是南京人”就不具备

也可以说成：要想“小明是南京人”，必须要有“小明是江苏人”

即

要想具备“小明是南京人”，必须要有“小明是江苏人”

也就是“小明是江苏人”是“小明是南京人”的必须具备的一个条件，

④还有学生指出，小明不是南京人，则不一定有小明不是江苏人

[这是整节课的重点和难点之处，也是整节课的灵魂，必须要慢，让多个学生来说，那就需要我在他们讨论时，参与进去，挖掘不同的说法，好方便喊学生来说，并且便于自己归总]

师：根据大家的分析，有两个不一定，我们暂不研究。由小明是南京人推出小明是江苏人，我们发现这两者之间的逻辑关系有两方面，第一，如果有“小明是南京人”，就一定有“小明是江苏人”；也就是“小明是南京人”能充分保证“小明是江苏人”，说明“小明是南京人”是保证“小明是江苏人”的一个足够的条件，那我们就可以称称“小明是南京人”是“小明是江苏人”的什么条件，我们这儿可以给它一个名称，你来填个词啊？你会填什么？足够，充足，------都可以，统一用“充分”来表示，恰当地来反映这种充分保证关系。（PPT中显示“充分”）

第二，我们发现：没有“小明是江苏人”，就一定没有“小明是南京人”；要想“小明是南京人”，必须要有“小明是江苏人”，也就是“小明是江苏人”是“小明是南京人”的必须具备的一个条件，也就是一个必不可少的条件。我们也给它一个名称，称“小明是江苏人”是“小明是南京人”的什么条件？必须具备、必不可少------都行，我们统一用“必要”这个词来表示这种必不可少的关系。（板书“小明是江苏人”是“小明是南京人”的必要条件）

根据这个例子，我们发现，由小明是南京人小明是江苏人，这个推出关系，隐含了两种意

思：“小明是南京人”能充分保证“小明是江苏人”，即“小明是南京人”是“小明是江苏人”的充分条件，同时没有“小明是江苏人”，就一定没有“小明是南京人”，“小明是江苏人”是“小明是南京人”的必要条件。

师: 这就是咱们这节课重点要学习的充分条件和必要条件.(板书与PPT同步: 标题

充分条件与必要条件) 师：再来看看这个推出关系：x＞5x＞1 你们尝试着来分析分析这二者之间的关系，两人一组，说给对方看看。

生：x＞5x＞1，把x＞5称为是x＞1的充分条件，x＞1是x＞5的必要条件

（这一段，直接由学生下结论，不解释，也不问为什么）

（如果学生只是说：要想有x＞5，必须有x＞1。这是，反问：

要想x＞5，为什么必须有x＞1？x不小于1，行不行？让学生或者全班说出：如果没有x＞1，就没有x＞5，必须要有它！也就是x＞1是x＞5的必要条件）

师：根据x＞5x＞1，得到两方面的关系：x＞5是x＞1的充分条件；x＞1是x＞5的必要条件。

师：

一般地pq，你能类比这两个，得到p与q之间的关系吗？

学生：若pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件

三、意义建构

若pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件

（板书第一列下方，分三行）

师：以后由pq，咱们可以直接得到两个层面的关系，一个是充分性，一个是必要性。

看黑板,

“若p，则q”为真，与

“pq”,以及p是q的充分条件，还有q是p的必要条件这是同一件事的四种表达形式，说的是同样一件事儿。

反过来，如果说p是q的充分条件，得到什么？

（学生思考）可以得到pq，还可以得到q是p的必要条件

如果要判断p是不是q的充分条件，我们只要做什么？只要看p是否可以推出q

四、数学应用

下面我们看个具体的题目

例1 ．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；

（2）

若f(x)＝x，则

f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增；

（3）

若x是无理数, 则x2是无理数．

分析：在这些命题中，，p指什么，q指什么？

（多媒体展示p q）

怎么分析这些命题中p是不是q的充分条件呢？大家先思考看看

生：（1）（2）中p是q的充分条件

师：为什么？

生：（1）（2）中p能推出q 师：（3）为什么不可以呢？

生：p是x是无理数, q是x2是无理数. 这是假命题，比如x是2，则p/q 师：非常好。我们知道，pq，则p是q的充分条件；如果p/q，则p不是q的充分条件，也就是p是q的不充分条件（板书第一列下方：备注1：p/q，则p不是q的充分条件。）

例1中，由（1）（2）中，pq，则p是q的充分条件

谁来小结下，怎么判断p是不是q的充分条件？

学生：只要看p是不是能推出q 师：接着来看，那些命题中q是p的必要条件？

（给10秒想想）

师：怎么判断q是不是p的必要条件呢？

生：只要看p是否推出q。则（1）（2）中q是p的必要条件

（若学生用一开始的要有p，必须有q来解释的话，迅速的把全班带回到定义：有了定义，这个判断方法呢，比原先的要快捷，我们用更先进的方法来判断）

师：小结下，我们怎么看q是不是p的必要条件？

生：只要看p是不是能推出q 师：对了！我们要判断p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件，其实是同一个标准，即p是否可以推出q

再来看一看例2 例2 下列各题中，哪些p是q的充分条件？

(1)

p：x＞

0，y＞

0 ，

q ：xy＞

0；

(2)

p：(x－1)(x－3) ＝

0，

q ：x＝3；

(3)

p：ac＝bc ，

q ：a＝b；

(4)

p：a＋5是无理数

, q：a是无理数． 师：给大家一些时间，想一想。得到想法后，还可以与周围同学议一议。

分析：（1）（4）中p是q的充分条件，因为pq

师：（2）为什么不是？p/q。为什么？还有可能x是1 （3）呢？当c为0时，a与b不一定相等。也就是p/q 师：我们发现，（1）与（4）中，pq，则p是q的充分条件

如果问：哪些p是q的必要条件？

要研究p是不是q的必要条件，只要看什么？

让学生想一想。

生：只要看q是不是p的充分条件

师：太棒了！即只要看q是否推出p

一起来看一看这四题。

（1）中，x＞

0，y＞

0推不出

xy＞

0；

（2）中，(x－1)(x－3) ＝

0x＝3；

（3）中，ac＝bca＝b；

（4）中，a＋5是无理数a是无理数．

得到，（2）（3）（4）中，p是q的必要条件

小结：判断p是不是q的充分条件，只要看什么？判断p是不是q的必要条件，只要看什么？

（板书第一列最后两行，pq，则p是q的必要条件）

我们知道了当pq，则p是q的充分条件；当pq，p是q的必要条件

那么，大家可以在我们学过的数学知识里，在数学领域中，举出一些例子，说明彼此的这种充分关系和必要关系吗？

大家可以在草稿纸上写一写，写好后自己想清楚其中的关系，然后与同桌交流交流，看看对方会不会

转一转，选择比较好的，用希沃投影出来。

时间多，就做练习，时间不多，直接小结。

例3．在横线上填写“充分”或“必要”

（1）“x是4的倍数”是“x是2的倍数”的________条件；

（2）“四边形四边相等”是“四边形是正方形”的________条件；

（3）“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”

的________条件．

分析：由学生来做，来说

小结：这节课你学到了什么？

同一件事的四种不同的形式，浅层次的是真命题、推出；深层次的是内在的逻辑关系：充分条件与必要条件！

会判断p是不是q的充分条件；p是不是q的必要条件。