2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案设计（一等奖）

异面直线

教材分析

异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．

教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．

教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．

教学目标

1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．

2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．

3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．

任务分析

空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．

教学设计

一、问题情境（１）

1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．

2. 如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？

二、建立模型（１）

1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．

2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．

强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．

（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．

3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．

（1）共面与异面．共面分为平行和相交．

（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点

____________ 平行直线和异面直线．

4. 异面直线的画法．

先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．

显然，图15-2或图15-3较好．

因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．

三、问题情境（2）

刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？

2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？

进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？

四、建立模型（2）

在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．

1. 异面直线a与b所成的角

已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．

强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．

（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．

（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．

（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．

2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．

引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．

强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．

（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．

五、解释应用

［例

题］

1. 如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．

注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．

2. 已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．

［练

习］

1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？

4. 已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2

，AD＝2，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成角是多少度？

（2）AA′和BC′所成角是多少度？

（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？

（4）A′B与B′C所成的角是多少？

（5）AC′与BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．

2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有

____________ 条．（无数）

3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有

____________ 条．（2）

若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？

点

评

这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．