2.1.4 平面与平面之间的位置关系精品学案

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

课前预习案

知识点一

直线和平面的位置关系

思考

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

梳理

直线l与平面α的位置关系

(1)直线l在平面α内(l⊂α)．

直线l与平面α相交l∩α＝A(2)直线l在平面α外l⊄α)

直线l与平面α平行l∥α

知识点二

两个平面的位置关系

思考

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

梳理

平面α与平面β的位置关系

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

两平面相交

预习练习

α∩β＝l 无数个点(共线) 1．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( ) 2．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( ) 3．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( ) 课堂案

类型一

直线与平面的位置关系

例1

(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(

) A．直线上所有的点都在平面外

1

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

(2)下列四个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0

B．1

C．2

D．3 反思与感悟

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

跟踪训练1

(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线都与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线都与a相交

D．直线a与平面α有公共点

(2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(

) A．l∥α

B．l⊥α

C．l与α相交但不垂直

D．l∥α或l⊂α

类型二

平面与平面的位置关系

例2

在以下三个命题中，正确的命题是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．

A．①②

B．②③

C．③

D．①③

反思与感悟

利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．

跟踪训练2

(1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(

) A．平行

B．相交

C．平行或重合

D．平行或相交

(2)已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

2

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 例3

(1)画出两平行平面；

(2)画出两相交平面．

引申探究

在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

跟踪训练3

试画出相交于一点的三个平面．

课堂基础练习案

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

2．下列说法中正确的是(

) A．两个平面可以只有一个交点

B．一条直线与一个平面最多有一个公共点

C．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合

D．两个平面有三个公共点，它们一定重合

3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

A．平行

B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内

D．平行或直线在平面内

4．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b(A．一定与平面β都相交

B．至少一条与平面β相交

C．至多一条与平面β相交

D．可能与平面β都不相交

5．若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________．

课后反思：规律与方法

3

) )

课后巩固提升案

一、选择题

1．直线在平面外是指(

) A．直线与平面没有公共点

B．直线与平面相交

C．直线与平面平行

D．直线与平面最多只有一个公共点

2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(

) A．相交

C．直线在平面内

3．下列说法正确的是(

) A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行

B．两个平面相交于唯一的公共点

C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点

D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行

4．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

) A．l与β相交

C．l在β内

B．l与β平行

D．无法判定

B．平行

D．平行或直线在平面内

5．若平面α与β的公共点多于两个，则(

) A．α，β可能只有三个公共点

B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上

C．α，β一定有无数个公共点

D．以上均不正确

6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

) A．b⊂α

C．b⊂α或b∥α

7．下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；

②平行于同一个平面的两条直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④平行于同一个平面的两个平面平行．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8．下列说法中正确的个数是(

) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；

4

B．b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

②两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交；

③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；

④如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0

B．1

C．2

D．3 二、填空题

9．已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是____________．

10．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．

11．下列说法中正确的是________．(填序号) ①若直线a不在平面α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；

④平行于同一平面的两条直线可以相交．

12．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．

三、解答题

13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

5

四、探究与拓展

14．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．

6