3.3.4 两条平行直线间的距离第二课时 公开课

3.3.4

两条平行直线间的距离

【教学目标】

1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 【重点难点】

教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

导入新课

我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).

图1 推进新课

新知探究

提出问题

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：

①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: 版权所有©正确教育

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(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=|C|AB22；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=|Ax0C|AB22；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=|By0C|AB22. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=|Ax0By0C|AB22. 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(C1,0). A|A(∴P′N=C1)C||CC1|A.

(*) 2222ABAB∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=|CAx0By0|AB22, 即d=|Ax0By0C|AB22,. ②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=|C1C2|AB22. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0By0C|AB22. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=|C1C2|AB22. 版权所有©正确教育

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讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=|Ax0By0C|AB22. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=应用示例

例1

求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:( 1)根据点到直线的距离公式得d=|C1C2|AB22. |2(1)210|212210525. (2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|25-(-1)|=. 33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值. 解:|3a462|3242=4|3a-6|=20a=20或a=46. 3例2

已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=1|AB|·h. 222|AB|=(31)(13)22，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在的直线方程为y3x1,即x+y-4=0. 1331点C到x+y-4=0的距离为h=|104|112252，

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因此，S△ABC=51×22=5. 22点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(-1,2),且与原点的距离等于2的直线方程. 2解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3

求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=|23708|22(7)214531453. 53点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练

求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离. 答案：23. 13拓展提升

问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. 解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-42,)，

55则直线MO′的方程为y-3=13x. 4811,)即为所求，

155直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=185. 5版权所有©正确教育

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课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用. 作业

课本习题3.3 A组9、10；B组2、4. 版权所有©正确教育

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