小结教案及板书设计

空间几何体的体积求法教学设计

霸州一中

李丹凤

一、教材分析

本节课是必修二第一章空间几何体的总结，本节包括复习棱柱、棱锥、棱台的结构特征。通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的体积的求法。能运用公式求解棱柱、棱锥和棱台的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。本节课先通过复习棱柱、棱锥、棱台的结构特征，然后对它们的结构特征进行比较，进而分清正棱柱、正棱锥、正棱台的结构特征，了解柱体、锥体、台体的体积关系，为求体积时能灵活转化做好铺垫。

二、学情分析

人的数学素质是人的数学素质和专业素质的双重体现，按照当前数学教育，数学素质大致涵义有四个表现特征：数学意识、数学语言、数学技能、数学思维。学生数学素质的培养：加强数学思想方法的教学，加强数学基本方法的教学，加强数学思维方法和数学逻辑方法的教学。

数学是一门特殊的学科，我国著名数学家、数学教育家张奠宙先生指出，“数学的对象是抽象的形式化的思想材料”。可见，数学最大的特殊就在于它是“思想材料”，而不像其他学科的对象基本都是“物化的形态”。人们对思想材料的学习，主要不是进行“物质实验”，而是依靠“思想实验”，也就是在大脑里进行“看不见摸不着”的“思维操作”。这就直接导致数学的学习比其他学科的学习要困难得多，这也导致数学的教学比其他学科的教学要更加特殊、更加困难。

多面体的体积求法，方法众多、灵活多样，但只要点拨方法得当，学生就能想到，本节课授课对象是高三小奥班学生，基础知识扎实，所以所选例题都是综合性强的，多种方法可解的，学生们都积极动脑，主动发言，通过师生共同探讨研究问题迎刃而解。

三、教学理念

加强数学思想方法的教学。首先要重视数学思想的教学，数学思想即数学的基本观点，是数学知识最为本质的、高层次的成分，它具有主导地位，是分析问题和解决问题的指导原则。

其次要加强数学基本方法的教学。数学思想方法是数学思想的具体化，也是解决问题的工具。

第三要加强数学思维方法和数学逻辑方法的教学。要使学生学会学习，形成再学习的能力，它是思考问题的方法，也是解决问题的手段，在数学中要运用的主要思维方法有分析法、综合法、比较法、类比法、归纳法、演绎法等。

在数学教学中，如何培养和提高中学生数学素质，适应社会主义现代化建设的需要，是数学教师必须攻克的重大课题。“教学生学会思考”是我的核心思想。数学是思维的科学！数学教育所能做出的重要贡献、主要贡献就是发展学生的思维，使学生变得更加聪明。这就是我把教”学会思考”作为数学教学的首要任务的原因。我认为，“只有把思维当乐趣的人才能学好数学”。在这一核心思想指导下，我一定会把过程放在首位，注重“过程”这个数学教学的本质，不仅向学生讲自己怎么想到的，也会经常问一问学生“你是怎么想的”-----向学生要结果，也向学生要过程。这一问，可以帮助我了解学生的思维过程、心理状态，便于

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调整我的教学策略，提高教学的针对性、适应性，减少盲目性。学生之间也要问一问“你是怎么想到的”，在学生的相互交流中，学生之间相互学到的也是“怎样去思考”。不仅问他人是“怎么想到的”，也会经常问一问自己是怎么想到的，从而提高元认知能力。学会思考当然是学会自己思考，独立思考，不总是问别人“你是怎么想到的”，还要反思自己是怎样想到的。

这样就造就了一个师生、生生都在索要思维过程的景象，于是课堂就会具有这样的特点：了解知识的来龙去脉和发生、发展，对知识的理解更加深刻，所学到的知识、方法迁移性更好----理解了的东西才能更好的掌握它、运用它。经过这样的数学学习熏陶的学生将来就会具有这样的特质：还可以把从数学学习中，获得的思考方法、解决问题的办法迁移到自己新的学习、工作中去。遇到问题时，就不再是“老虎吃天不知从何下口”，而是思维能力强，认识能力强，解决问题的能力强，刨根究底、研究问题的能力强。这正是，把所学的数学知识忘掉以后，留下的教育就是学会了思考。这才是数学学习在人的一生中所应该起到的作用——数学学习的价值所在。“学会思考”对人生的意义巨大。

四、教学目标和重点、难点

教学目标

知识与能力

1.复习棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

2.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的体积的求法。

3.能运用公式求解棱柱、棱锥和棱台的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

过程与方法

利用实物模型、计算机软件观察空间图形，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

情感态度与价值观

能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心.

体验数学活动充满着探索与创造。

使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响

教学重难点

重点

1棱柱、棱锥、棱台的体积的求法

2.台体与柱体和锥体之间的转换关系

难点：台体与柱体和锥体之间的转换关系。

五、教法、学法

我“以问题结构推进教学”为原理，将本节课问题化，问题结构化。形成“提出问题----解决问题----再发现问题----再解决问题”的问题结构推进教学的过程。教学在“产生问题和解决问题”的过程中前进----问题引领、环环相扣，形成结构，逐个解决，层层推进。学习的动机源于疑惑、惊奇、好奇。孔子的启发式教学的核心是问题，关键是引导。孔子通过问题把学生一次又一次的推向“愤”与“悱”的境地，在学生解决问题需要启发时才给予适当启发。问题可以激发学习兴趣，引发学习动机。问题是数学的心脏，是数学思想的源泉，是数学思维的动力。数学就是在问题的不断提出与解决中发展的。数学的一切概念、公式、定理，都是因解决问题的需要而产生的。数学中的一切方法都是在解决问题的过程中被总结、被发现、被创造出来的。应该让学生感受到概念产生的必要性，参与到概念的定义、方法的创造过程中来。

六、教学工具

多媒体课件

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七、教学过程

多面体的体积的求法

师：这节课我们来学习多面体的体积的求法。首先复习三个基本定义，

请看大屏幕

空间几何体：若物体只考虑它的形状和大小，而不考虑其它因素时，将这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做

旋转体的轴

本节课是高三一轮复习，学生对前面基础知识已淡忘，利用多媒体快速回顾空间几何体、多面体、旋转体的基本概念及分类。

学生集体答出分类

点

评

棱柱棱锥多面体棱台简单几何体圆柱圆锥旋转体圆台球师：下面我们复习棱柱、棱锥、棱台的结构特征

一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.棱柱的结构特征

共同特点：

（1）.有两个面互相平行。（2）.其余各面都是四边形。

（3）.每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。

棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底。

其余各面叫做棱柱的侧面。

相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

用底面各顶点的字母表示棱柱，表示为棱柱

ABCDEF—A ' B ' C ' D ' E ' F ' 。

按照侧棱分类：

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对多面体的定义及分类详细分析并讲解，然后提问学生通过定义总结棱柱、棱锥、棱台的结构特征，学生不能完整的答出棱柱、棱锥、棱台的共同特点，需在老师的指导下完成。

棱台的定义：

上面这些多面体，是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截

面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面。

棱台也有侧面、侧棱、顶点

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、

五棱台……，表示为棱台ABCDEF-A ' B ' C ' D ' E ' F ' 。

棱台可由棱锥转化而来，棱台问题常可转化成棱锥问题求解。

棱柱、棱锥、棱台都是多面体。

棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较

正棱柱：底面为正多边形的直棱柱

正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥

正棱台：由正棱锥截得的棱台

通过前面的复习，对棱柱、棱锥、棱台从底面、侧面、侧棱、平行于底面的截面、过不相邻两侧棱的截面五个方面的结构特征进行比较。逐一提问学生，学生已能准确答出。

（1）侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。

（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，其中底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

2. 棱锥的结构特征

共同特点：（1）.有一个面是多边形。

（2）.其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

棱锥的定义：一般的，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……. 三棱锥是最简单的空间几何体之一，它有四个面，每个面都是三角形，每个三角形的顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为底面。

3. 棱台的结构特征

长方体中的三棱锥

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进一步让学生对正棱柱、正棱锥、正棱台的这五个方面的结构特征进行比较，学生对侧面的特征答的不够准确，加以引导后对这三个几何体已熟练掌握。

二、柱体、椎体、台体的体积

通过对柱体、椎

体、台体的图形

变化理解三个体上底扩大

上底缩小

积公式并加深记

忆

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VSSS/S/h

3

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Sh

：VSSS/S/h

V33

师：我们知识点已经非常熟练了，下面来解决具体体积

本题，刚开始学生都只围绕着原来的高和体积，经过引导学生发现可以换顶点，还可以换底面，不一定保证体积不变，体积可以变大也可以变

小，只要与我们SSVShS0

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师：我们要解决三棱锥的体积，需要解决什么？

众：高和底面积。

师：高和底面积怎么求？

生1：求不了？

师：那怎么办？

生1：换成高和底好求的，换成以E为顶点，BCD为底面的三棱锥。

师：为什么可以这样换？

生1：三棱锥任意点都可以作为顶点。

师：非常好，分别说出高和底面积的求法。

生1：高为EA. 师：底面积呢？不规则图形的面积，也要首先找底和高。

生1：底面积为S=½(CD×DH). 师：DH如何求？

生1：等面积法。

师：非常好，如果BCD的面积不好求，顶点E不动，换个好求的底面可不可以？

生2：没有面积相等的。

师：不一定非得相等啊，不相等就不能求吗？

生3：可以，可以换成ABD，它的面积是BCD的二倍。那E--BCD的体积就是E--ABD的体积的一半。

师：非常好，请坐。大家思考一下，如果顶点和底面都不能换呢？还可以怎么办？

生4：割补法，用四棱锥E--ABCD的体积减去三棱锥E--ABD的体积。

师：非常好，我们求体积的主要方法就是直接法和间接法。

师：这道题是选直接法还是间接法呢？

生5：直接法，不用换顶点，棱锥的高和底面都好求。

师：为什么高好求？

生5：由已知知道，PA垂直于平面BCM,可过点N做PA平行线。

师：你可知道垂足落哪？

6 要求的体积有数量关系就都可以随意变，但这就要求学生的基本知识必须过硬，否则寸步难行。

学生掌握了直接法，但有时间接割补法反而更容易入手，所以两种方法同样重要，在平时做题过程中都要加强练习

通过例1的

学习，学生已会转化，所以例2要加强练习求高和底面积，对底面积的求法要灵活，不规则的图形往往也能通过它所在的正方形、长方形、直角梯形求出它的高

生5：不知道？

师：非得知道落哪吗？不知道能否求高？

生6：不用知道垂足就可以求棱锥的高，因为N是PC中点，所以棱锥的高是PA的一半。

师：棱锥的高确定了，底面积呢？它是规则图形吗？

生7：不规则，底面BCM的高不好求。

师：不好求，可以转化成其它点到BC的距离吗？还能保证数量不变。

生7：可以，可以换到A点或D点。

师：哪个好求呢？

生8：A点，正好中线即为高。

师：很好，通过大家的努力，我们已掌握了四种求棱锥体积的求法，分别是直接法、换顶点、换底面、割补法。

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八、课堂小结

1.直接法2.换顶点3.换底面4.割补法5.换高6.等体积求高

九、课下作业

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十、教学问题诊断

人的数学素质是人的数学素质和专业素质的双重体现，按照当前数学教育，数学素质大致涵义有四个表现特征。

1.

数学技能

数学的作图、识图、心算、口算、估算、笔算、器算是数学最基本的技能，而把现实的生产、生活、流通及科学研究中的实际问题转化为数学模型，将问题解决，形成数学建模的技能，这是数学的创造，在数学技能解释、判断自然或社会现象及预测未来的同时，也发展与创造着数学本身。

2.数学思维

数学是思维的体操，学习数学能品尝思维的乐趣，抽象、概括、归纳与推理等等形式化的思维，以及直觉、猜想、想象等非形式化的思维，都是数学思维方法、方式与策略的重要体现，数学直觉思维、数学逻辑思维、数学辩证思维都是人的高级思维形式。

3.数学意识

数学意识就是数学素质的基本表象。数学意识，即利用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系、空间关系和数学信息，以形成量化意识和良好的“数感”，进而达到利用数理逻辑的观点来科学的看待世界，不难发现人的数学意识的高低强弱，它无时无刻不反映出来。

4.数学语言

语言是表达思想的，是人类相互交流的工具，数学语言则是人们进行数学表达和数学交流的工具，自然也是具体的语言，数学语言是形式化的语言。

数学语言包括自然语言、图形语言、数学符号语言。数学语言是人人都要使用的语言，它可使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁，在处理问题时能将其中各种因素的复杂关系表述得条理清楚、结构分明。数学语言，作为一种科学语言，它是数学的载体，具有通用、简捷、准确的数学语言，是人类共同交

数学意识是数学素质的基本表象，数学技能是数学知识和数学方法的综合应用，数学思维与数学语言存在于数学学习和运用的过程之中。数学素质的个体功能与社会功能常常是潜在的，而不是急功近利的，数学素质具有社会性，独特性和发展性。

十一、教学评价与反思

数学教育在人的素质养成上具有其他学科教育不可替代的作用。基础教育阶段，数学知

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识的学习、数学思维方法的训练，可以使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。

一个人的数学素质好，是指他能从数学的角度来思考问题，“数感”好，有数量概念和规律概念，能够辩证的看问题，等等。这些素质是在长期的数学知识的学习中潜移默化地养成的。

数学学习是具体性较差和与现实有一定距离的活动，自我意识的作用更加突出，更加需要学习活动与对活动的自我反省和调节的协调统一。

数学教学实施素质教育关键在于还学生以学习的主动权，不拔苗助长和急于求成，允许学生学习上有反复，让他们有时间、有机会对自己的思维过程加以反省，从中总结自己发现和解决问题的基本方法、技能技巧以及经验教训，逐渐养成监控自己数学活动的技能和习惯。当然，培养学生的反思和调节能力需要有一定的技巧，要注意收集和总结学生在数学活动中发生错误的典型材料，在教学中有针对性地设计反思性问题，并鼓励学生现身说法，开展积极的评论和研讨等。

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