习题2.3优质课教案推荐

空间中的垂直关系的证明（教学设计）

广州市岭南画派纪念中学

王娟娟

一、

教学内容分析：

考纲要求：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

1.一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

2.一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

3.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

数学核心素养的培育：空间中垂直问题的题目很多，如何精选题目才既能有效地帮助学生巩固定理和提升应用定理解决问题的能力，又能促进数学核心素养的培育，不至于掉入“只会刷题”怪圈，这就需要我们时时刻刻将学生终身能力的发展这一目标记在心上。数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。本节课是数学抽象、逻辑推理和直观想象这三个核心素养培养的集中体现。于是，我们的教学要在学生理解、掌握和应用数学概念、定理、法则的基础上，让学生从中领悟数学思想与方法记忆培养学生发现与提出、分析与解决问题的能力，特别是训练与发展学生的思维能力，才能最终指向培育和发展学生的数学核心素养。

数学思想方法的分析：定理的实质是应用转化思想的过程，线面垂直、线线垂直、面面垂直三者之间的相互转化，将立体几何问题逐渐转化为平面几何问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现得尤为明显。

二、

学情分析：

立体几何是高中才有的内容，学生高一第一次接触时，就感觉非常抽象。所教班级虽然是美术班的重点班，但由于高一代课老师要求不严，故基础没打好。另外，上学期外出美术集训，有一年多没接触立体几何了。部分学生仍不能很好地从直观图中想象出点线面在空间中的实际位置，这就给学生寻求证明思路带来不少的障碍。另外，立体几何的众多概念、公理、定理错综复杂，学生如果没有认真去辨析每个定理的条件和适用范围，就会在头脑里一团乱麻。此外，证明的书写需要学生应用定理按照规则的要求进行逻辑推理的表述，这对学生也是一个较大的挑战。在本节课之前，教师已经布置学生完成了空间中的垂直问题预习作业，学生对线面垂直、面面垂直的判定与性质定理进行了回顾，但对定理的理解和应用仍存在较大问题。

三、

核心素养培育目标：

1、

通过复习线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，使学生掌握解决空间垂直问题的方法并能应用到实际问题中。

2、

参与问题探究中，让学生学会利用分析框架探索垂直问题的解题思路，并养成解题后反思小结的习惯。

3、

在解题的过程中感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用，培养学生发现问题解决问题的能力。

4、

在分析问题和书写证明的过程中发展学生逻辑思维能力和推理辩证的思维。

1

四、

教学重点、难点

教学重点：线面垂直、面面垂直判定定理和性质定理的应用

教学难点：利用分析框架探寻垂直问题的证明思路

五、

教学方法：讲练结合，学案导学

六、

教学过程：

1.知识回顾：

（1）.考点透视

（2）. 上节课的知识归纳表（本节课前，学生代表上台总结发言）

1.直线与平面垂直

定义：如果直线l与平面内的

直线都垂直，则直线l与平面垂直。

图形

符号

定理简述

判定

laal

b

线面

性质1

性质2

l

a

线面

a

b2.平面与平面垂直

线面

定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，则这两个平面垂直。

判定

图形

符号

定理简述

a



面面

性质

la

a

面面

3.请用结构图将线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系表示出来。

2

2.

高考真题练习

例1（10年全国卷）

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，

AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：

平面PAC

平面PBD; 分析框架：

证明：

小结：

设计意图：例1有两种证法，激发学生的发散思维。例1设计流程是学生独立思考后讨论

→学生代表上台分析后板演→教师批改后总结。

变式（15年全国卷1）

如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，

（I）证明：

平面AEC平面BED；

设计意图：

1.例1与变式的目的是让学生掌握由线线垂直线面垂直面面垂直的证明思路，同时注意书写的严谨性。变式由学生批改，目的是让学生学会自我纠错。

2.变式讲完后，教师归纳总结题目中出现“线线垂直”的情况，利用希沃白板5多媒体软件，学生回答出什么内容，教师就点击课件中相应的内容，这样克服了PPT课件既定顺序性的缺点。此时的归纳总结，同时也为例2扫清障碍，突破如何做辅助线的难点，起了承上启下的作用。

3

例2（13年全国卷1）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明

AB⊥A1C;

C C1

分析框架：

A B B1

A1

证明：

小结：

设计意图：

1.教师引导学生，并引导学生一起书写完整的证明过程。

2.让学生掌握由线线垂直线面垂直线线垂直的证明思路，同时注意书写的严谨性。

变式1（17年全国卷3）

如图四面体

ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

设计意图：

进一步掌握线线线垂直的证明思路与书写。

4

3．提升与作业

（11年全国卷）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD底面ABCD

。

（I）

证明：PABD

（II）

设PDAD1，求棱锥DPBC的高。

1（12年全国卷）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=2AA1，D是棱AA1的中点。

(Ｉ) 证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

A1

D

A

C1

B1

C B 设计意图：

难度较大，供课后学有余力的学生讨论与提高，目的是让不同层次的学生都有所进步。

4、课堂小结

1、体会转化思想在解决问题中的运用

2、学会利用分析框架探索垂直问题的解题思路

3、书写证明时要注意逻辑性与严谨性

5