习题4.1第二课时 公开课

教学基本信息

与圆有关的轨迹问题

课题

河北定州中学

赵小明

学科

教材

数学

学段：

高中

年级

高一

人教A版

必修二习题4.1 （同时适用于本章信息技术应用：《几何画板》）探究点的轨迹）

教学设计

与圆有关的轨迹问题

一、指导思想与理论依据

1.（1）建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。

（2）布鲁纳的认知—发现学习理论——学习的实质是主动形成认知结构.布鲁纳认为学习是一个积极主动的认识过程.学习者不是被动地接受知识，而是主动地获取知识，并通过把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系. （3）课程标准新理念——高中数学新课程标准指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一……数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。”

2. 解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一。其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。本章在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

3. 教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“増加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，本节将数学文化与数学知识相结合选取典型样题深度解读．

二、教学内容分析

1．课程目标

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而

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将几何问题转化为数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，这种思想应贯穿平面解析何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

2.本节内容的地位与作用

轨迹问题是解析几何中的一个重要课题，本节以圆这个几何对象为出发点，以习题为载体，主要让学生掌握求轨迹的各种方法，体会几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；体会数形结合思想的应用。从知识上说，它是对运用坐标法的巩固，同时也是进一步研究其他圆锥曲线的基础；从方法上说，本节涵盖了求轨迹方程的主要思路和解法，为我们后续研究椭圆、双曲线、抛物线等轨迹问题提供了保障和理论基础。因此本节课的内容具有承前启后的作用。

三、学生情况分析

学生已学习了直线与圆的方程的推导，对曲线和方程的概念有了一些了解，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，我们可以充分相信：在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，且受学生学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。如：学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，抽象能力不强，为此教学要循序渐进，不能急功近利。

四、教学方式、手段及设计思想

本节课采用“启发式”的教学方法，以问题解决为中心，注重学生学习过程，关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，在教学中从回顾旧知到发现新知，进而应用新知，立足以学生的发现为主，教师引导为辅，着眼培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。同时采用多媒体、几何画板等辅助教学，调动学生的多种感官。演示的直观性、形象性有助于增进学生对数学本质的理解、提高教学效率。

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学习题环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握与圆有关的轨迹问题。

五、教学目标

1.知识目标：

（1）初步理解用代数方法处理几何问题的坐标法思想 . （2）学习用直接法、相关点法（代入法），定义法求点的轨迹方程，了解求点的轨迹方程的方法，步骤。

2.能力目标：

（1）通过对与圆有关的轨迹问题的探究，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、

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概括能力，进一步体会求轨迹方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。

（2）利用几何画板展示动点轨迹的运动，使学生在头脑中建立一些简单的模型（如阿式圆），为今后进一步深入研究动点轨迹、解相关习题打下基础。

3.情感目标： （1）渗透数形结合的思想方法，同时体会转化与化归、分类讨论的思想。

（2）培养学生勤于思考、自主解决问题的习惯.提高其思维能力和学习能力. （3）体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点. 六、重点难点

重点：求点的轨迹方程的方法，步骤. 难点：求点轨迹的过程中寻找动点满足的几何关系. 七、教学方法 启发诱导、自主学习. 技术准备 本节课设计了轨迹生成的几何画板课件，通过动态演示帮助学生从运动变化中寻找不变关系；同时让学生感知阿氏圆的规律，为进一步研究相关问题做铺垫。

预计课时

1-2课时（依赖于课前学生自学解决问题情况）

八、教学过程设计：

本节课的基本流程：创设情景引出课题——知识回顾与铺垫——方法总结与概述——理解应用、强化细节——拓展练习——课堂总结与升华——课后练习

教学过程

(一)

创设情景引出课题

1.

视频欣赏：山东省青州市美丽的喷泉视频，可以看到水珠经过一定压力喷洒出来形成了各种形状的轨迹。（动态）

提出这就是本节要研究的轨迹问题

2.

展示与圆有关的贴近生活的图片，如美丽定州花卉图案、星轨、摩天轮等

进一步提出所要研究的是与圆有关的轨迹问题

学生观看喷泉视频，抽象数学轨迹图形。

让学生发现生活中的圆，感受数学的无处不在。

一方面调动学生的学习兴趣，感受数学来源于实践，并给人以美的享受。另一方面，为本节课轨迹的概念，研究的主题做铺垫。

师生活动

设计意图

3

(二）知识回顾与铺垫

1.圆的定义？

2什么是轨迹？

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

3.平面几何中，你学过的轨迹有哪些？

4.轨迹与轨迹方程有区别吗？

轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关系式．

(三)

方法总结与概述

方法一：直接法求轨迹方程



你还记得课本上推导圆的标准方程的过程和步骤吗？



求轨迹方程的步骤



建立适当的直角坐标复习和给学生口答对应问题，对于轨迹的出本节课所要用定义学生可能无法描述，由ppt给出，到的知识点，为了解即可。

习题的解答提供理论依据。









系，设曲线上任意一点M的坐标为(x,y) 分析点M的限制条件

代入坐标，列出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式

检验或判断是否要轨迹的全部

学生复习P118圆的标准方程的推导过程，体会直接法求点的轨迹的过程及步骤。

教师引导学生概括直接法的核心关键字眼：建设限代化验（此处可采用谐音记忆法“建设现代化耶”）。为了调动学生积极性，烘托课堂气氛，可给与“耶”的手势。

以课本为纲，按学生的认识规律与心理特征引导学生概括、理解和记忆直接法求轨迹的过程和步骤。

例1、已知M与两个定点O（0,0），A（3，0）的距离的比学生独立自主完成例1（即课本一方面让1为，求点M的轨迹方程。

21变式1、若把2改为2，试讨论点M的轨迹. 习题4.1 B组第3题）及变式，巩固学生自主解决相直接法求轨迹。

对于变式2学生可能存在一定关习题，掌握直接法求轨迹；另困难，可讨论或借助几何画板完成。

一方面通过变式

拓展，让学生初步了解阿氏圆及其相关定理，为以后解一些相关1变式2、若把2改为k（k>0），试讨论点M的轨迹.

教师通过这道题可向学生介绍阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆）即阿波注：1.此题要分清轨迹与轨4

迹方程的区别

罗尼斯轨迹定理。同时了解和联想中的高考题做铺

2.如果学生存在困难，可用几何画板辅助帮助其直观感受。

国以人物命名的有关数学知识或定垫。此外，此题方法二：相关点法求轨迹方程

理。

变式还可培养学方法三：定义法求轨迹方程

生分类讨论的意

例2

如图所示，已知O为坐标原点，P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．

例2本身这道题是课本上遇到过的例题，只是变了一下数据，学生可以自主完成。有例2作铺垫，下面的变式也可由学生自主完成。如果学识，形成严谨的推理和思维习惯。

通过例2抛砖引玉，让学生自主解决变式习题（即B组第2题），旨在培养学生存在困难，教师可用几何画板帮助生的自学能力和学生理解分析变化过程中的不变几迁移能力。另一何关系和几何量。

方面总结完善求

注：本题及变式（即B组第2题）可用两种解法：定义法和相关点法。

轨迹的方法，至此常见的三种方法都已经涉及到，可让学生形成完整的方法体系。此外注意体会坐标法及数形结合思想。

变式：长为2a的线段AB的两个端点A,B分别在x,y轴上滑动，求线段AB的中点

的轨迹方程.

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(四)理解应用、强化细节

1. 已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).

证明：圆的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

析：此题可用待定系数法和直接法求解证明，但应提醒学生看结论选合适的方法。

2.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 析：此题方法可用直接法或定义法，但难点是检验轨迹的完备性和纯粹性。

(五)拓展练习

【拓展】已知两定点A,B间距离为6，动点M与A,B距离之比为2，则△MAB面积的最大值为？

析：轨迹方程与数形结合求最值的一个综合，进一步体会坐标法思想。

用，或者按部就

班的直接法解决学生展示思维及过程或课下完成。

问题，旨在提高

学生分析问题解

决问题的能力。

同时进一步加强

学生对数形结合

思想及坐标法的理解和应用。

对前面阿氏圆的灵活应学生自主训练解决这两道习题（即课本习题4.1的A组第5题和B组第1题），同时注意方法选择和求轨迹的易错点。

让学生巩固方法，并学会选择；同时培养学生严谨的学习作风和观察审题能力，加深对知识的理解和应用。

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(六)

课堂总结与升华

从数学方法、数学思想、数学思维三个角度进行总结。

同时，升华到人生高度:人生的轨迹怎么走？

(七)课后练习

学生思考、以填空形式对应方法，巩固所学。

教师引导和加强对数学的理解与升华，建议学生：以目标为圆心，

以能力为半径，

绘画出圆满的人生轨迹！

变换总结方式，可增强新异感，调动学生的积极性。同时树立正确的人生观价值观，以数学语言紧扣主题。

旨在培养学生自主学习的习惯。

供学有余力的学生做。

七、教学板书（以学生展示习题为主）

八、教学反思

在本节课中，根据学生能力的高低因人施教尤为重要. 学生是否具有自学能力，是否善于自主解决问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流合作，能否对解决问题的方法进行质疑、调整和完善. 鉴于此，在设计本教案时，增加教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学，课堂是学生的主阵地”这一教育思想，实践新的教育理念.

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