3.3.4 两条平行直线间的距离第二课时教学实录

人教A版必修二《3.3.4两条平行直线间的距离》教学设计

长泰一中

杨秀涓

教学分析：

上一节学生已经学习了点到直线的距离，点到直线的距离公式是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。

两条平行直线间的距离公式的推导方法很多，本节课主要是运用初中和高中已学知识来探究得到两条平行直线间的距离，除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法。“课程标准”对本节教学内容的要求是:“会求两条平行线间的距离”，所以本节课在探究完公式后，主要是通过题目让学生进一步巩固公式的运用。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合。教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

教学目标: 1．掌握两条平行直线间距离的求法；

2．会运用两条平行直线间的距离公式解题。

3.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作。

重点、难点: 1．重点：两条平行直线间距离公式的研究探索过程及公式的应用。

2．难点：两条平行直线间距离公式的推导。

教学过程: 一．情景导入

师生共同观看港珠澳大桥的照片和视频，而后提出问题：“如果把大桥的两侧的边缘看成两条平行线，那么如何在直角坐标系中求出这两条

平行线间的距离？

”

设计意图：本节课以通车不久的港珠澳大桥引入，激发了学生的兴趣，旨在让同学们在感叹中国科技的飞速发展之余能够树立将来为祖国做贡献的远大理想。

二．复习导入

1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. 2.点到直线的距离公式

：平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是|Ax0By0C|d=A2B2. 设计意图：复习已学知识，为新课的学习作准备。

三、推进新课

探究1：已知直线l1:x=-2与l2:x=1，则l1与l2的距离是

。

变式：已知直线l1:y=2与l2:y+1=0，则l1与l2的距离是

。

师生共同分析、数形结合分析得出方法。

方法小结：当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

设计意图：先从特殊位置的两种平行线入手，求两平行线间的距离，由浅入深、由特殊到一般，符合学生的思维发展规律。

典例讲解

例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距离。

学生讨论、交流方法，最后再展示不同的方法。

生1（法一）：利用l1与x轴的交点A(4,0),再求A到l2的距离即为两平行直线的距离。

师问：能否取其它的点呢？

生答：也可以取l1与y轴的交点或直线上的任一点，求点到l2的距离。

师问：那否换成取l2上的点，求点到l1的距离呢？

生答：可以。

师：虽然可以任取点，但是为了计算简便，取的点最好是坐标为整数的点。

生2（法二）：也可利用取两条直线外的点，如取点O(0,0),求出O点到两直线的距离，则距离差的绝对值即两平行线间的距离。

师问：那如果取的点恰好在两直线之间呢？

生3（法三）：那这个点到两直线的距离之和为平行线间的距离。

生4(法四)：设l1，l2与x轴的交点分别为A,B，过A作l2的垂线，垂足为C，则利用斜率k=AC2d7,得BC=d,再用勾股定理即可求得d。

BC7BC2生5（法5）：设l1，l2与x轴的交点分别为A,B，过A作x轴的垂线交l2于点C，则利用等面积法SABC11ABACBCd可求得d. 22教师再引导学生比较5种方法哪种方法可以使解题更简便。

设计意图：此题是从探究1的特殊的平行线上升到一般的平行线间的距离，学生通过合作交流得出不同的解题方法，很好的培养了学生的发散思维。最后从五种方法中总结得出解题时比较简便的方法即为求平行线间的方法可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离，注意取点时最好取坐标为整数的点，此种方法方便学生理解记忆。

探究2：求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2: Ax+By+C2=0的距离是d=|C2C1|AB22. （学生自主探究并与同组同学一起交流，教师手机拍照上传学生的证明方法）

学生大部分取与x轴或y轴的交点，利用点到l2的距离即为两条平行线间的距离，得证。

教师通过课件演示取的点为任意点时如何证明命题成立。

师生再一起分析得出运用此公式求两平行线间的距离时要注意：运用两平行线间的距离公式时，要求l1与l2中x，y项的系数一定要对应相等，否则不能运用公式．

启发诱导：若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

讨论结果：当A=0或B=0时，上述公式也成立.即对任意的两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0，它们之间的距离公式为d=|C1C2|AB22.

现学现用：你会用以上公式求例1中的距离么？

分析：求两条平行直线间的距离的两种方法的优缺点是什么? 设计意图：根据展示学生的证明方式以及类比前面例1的取点方法，从取l1与坐标轴的交点到l2的距离得证命题，再引导学生思考取l1任意点是否也能证得命题成立，师生共同证明。证明得到公式后强调使用公式的前提条件，以防产生错误，再引导学生思考对于探究1中的A=0或B=0时此公式是否适用，最后一起分析两种方法的优缺点。在推导两条平行直线间的距离的距离公式过程中运用的转化的思想即将几何问题转化为代数问题，通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力，培养合作意识和创新精神;同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

课堂互动，触类旁通：

题型一

求平行线间的距离

【例2】

求两条平行线l1：6x＋8y＝11和

l2：3x＋4y－15＝0的距离．

[思路探索] 求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可利用公式求平行线间的距离，但要注意两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

（学生到黑板展示解题过程，教师点评，师生共同讨论得出规律方法）

规律方法：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．也可以直接套用两平行线间|C2－C1|的距离公式d＝2，若两平行直线x、y的系数不同，则要先化为相同的系数，再使用A＋B2距离公式．

题型二

已知距离，求直线方程

【例3】

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程． [思路探索] 本题考查两平行线间的距离，由两条直线平行设出方程，然后运用公式求解即可．

设计意图：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.

当堂检测

1.平行线5x-12y+10=0和5x-12y-6=0的距离是______; 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 3.求与直线l：5x－2y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程. 设计意图：进一步巩固本节课所学知识和方法。

课堂小结

通过本节学习，我们主要学习了：

1. 平行直线间的距离转化为点到直线的距离

，而点到直线的距离公式为：平面内一点|Ax0By0C|P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是d=A2B2. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式是：d=|C2C1|AB22。（运用此公式时要保证x,y的系数要对应相等）

作业布置

1.求下列两条平行直线间的距离：

（1）2x+3y-8=0

2x+3y+18=0（2）3x+4y=10

3x+4y=0 2.两平行线3x＋4y－2＝0和6x＋8y＝5的距离为________．

3.过点A(2,0)和B(0，－3)两点作两条平行直线，使它们之间的距离等于3，求这两条直线的方程．

4.阳光课堂3.3.4 板书设计：

3.3.4两条平行直线之间的距离

两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2: Ax+By+C2=0的距离是：

法一、从其中一条直线取一点（最好是坐标

为整数的点），则此点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离。

法二、公式法

d=电脑屏幕使用希沃

探究1、例1、探究2、当堂检测直接板书在电脑上

例2 例3

|C2C1|AB22.（注意x,y的系数要对应相等）

教学反思：本节课以通车不久的港珠澳大桥引入，激发了学生的兴趣，旨在让同学们在感叹中国科技的飞速发展之余能够树立将来为祖国做贡献的远大理想。而后从特殊的平行线到一般的平行线间的距离，总结得出求平行线间的方法可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离，而且通过探究2的各种取点方式得到两平行线间的距离公式，并且总结得到使用公式的前提条件，而后通过例题和当堂检测使得所学知识得到巩固。整节课教师以新的课改理念为指导，注重学生认识发展水平，关注学生学习过程和方法、兴趣和愿望、情感、态度、价值观。教师注重引导学生利用所学知识多角度地去进行”选择”、”加工”信息，直至”发布”信息，训练学生求异思考，发散思维。