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“中小学信息技术与课程融合优质课大赛”教学设计

多面体与球的切接问题

（人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修2）

哈尔滨市阿城区龙涤中学校 王凯

【摘要】多面体与球的切接问题是高考必考选填题，每年必出一题。本节课让学生掌握正方体、正四面体的外接球，内切球，棱切球的半径和多面体棱长和高的关系。会抽象出平面图形，掌握化末知为已知的思想。

【教材分析】

1.

教材地位及作用

本节教材选自人教A版数学必修2第一章的一节课。本是课是高考的重点，同时也能培养学生的空间想象能力，运算能力，分析问题、解决问题能力的好素材，有利用学生数学核心素养的形成。

教学目标

1.

知识目标：了解球与多面体的切、接关系的概念；掌握切、接关系的典型处理技巧。

2. 能力目标：培养学生核心素养中的直观想象能力, ,并进一步发展学生的数学抽象能力和逻辑思维能力。

3.情感目标：通过本节课的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学

态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。

2.

教学重点、难点

1.教学重点：掌握切、接关系的典型处理技巧。

2.教学难点：切、接问题转化为平面问题。

【学情分析】

任教的学生在学年属中上程度，学生学习兴趣较高，学习数学所具备的推理能力相对较好，但在合作探究方面可能会有一点困难。

【教学过程】

一、问题导学（用到“希沃教学助手”这一软件的投屏功能）

（一）

球的概念

问题1 球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫____________,球面所围成的几何体叫____________.

问题2 球的集合定义：与定点的距离等于_______的点的集合，叫______ 与定点的距离等于或_______定长的点的集合，叫_________.

（二）

球的性质

性质1：用一个平面去截_______________,截面是_________________ 用一个平面去截______________,截线是_______________ 大圆____________________________________ 小圆______________________________________

性质2：球心与截面圆圆心的连线_____________________

性质3：球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有下列关系式：_________

（三）

多面体与球的接、切概念

问题 1 若一个多面体的_______都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的________；

这个球是这个多面体的_______________. 问题 2 若一个多面体的_______都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的________；

1 单位：黑龙江省哈尔滨市阿城区教师进修学校

网址：Http://www.acjxedu.net

邮箱：acjxedu@acjxedu.com

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这个球是这个多面体的_______________.

二、

合作探究

探究（一）（电子白板中数学工具）

探究1：有一正方体箱子的棱长为a，里面放置一个气球，给气球充气，使其膨胀，但仍保持球的形状，问气球表面积的最大值为多少？ 探究2：抽去正方体各面上的板，形成一个正方体的框架，继续给气球充气，使其膨胀，但仍保持球的形状，问气球的表面积最大为多少？

探究3： 若把正方体箱子放入气球中，问能放下正方体的最小的气球的表面积为多少？

探究4：在长、宽、高分别为2,4,2的长方内有一半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为多少？

探究（二）（电子白板的链接功能）

探究1：求棱长为a的正四面体的外接球半径。你有几种方法？ 探究2：求棱长为a的正四面体的棱切球半径？

探究3： 求棱长为a的正四面体的内切球半径？

三、归纳小结（此环节用到电子白板的显隐功能）

1.求棱锥的外接球半径常见的补形方法有哪些？

2.求棱锥外接球半径的方法有哪些？

3．求棱锥内切球半径的常用方法？

四、当堂检测

1．正方体的内切球、棱切球、外接球的半径比为_________,表面积比为__________； 2.

正四面体的内切球、棱切球、外接球的半径比为_________, 体积比为__________；

3．正三棱锥S-ABC，底面边长为3，侧棱长为2，则外接球和内切球半径分别为多少？

4．正四棱锥S—ABCD的底面各边长和各棱长都为2

，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为___________；

5．在三棱锥P--ABC 中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（

）

A．2

B．4

C．4

D．



336．(2014全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，该球的表面积为__________. 7．一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为____________. 8．(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值为（ ） 9，底面周长为3，则这个球的体积为82 单位：黑龙江省哈尔滨市阿城区教师进修学校

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A．4

B．932

C．6

D． 32（用到电子白板的截屏功能和“白板笔与橡皮的巧用”显示功能）

五、学后反思：

六、作业布置

课本P96习题A 1、（3）和2。附：板书设计

数学归纳法

1.求正四面体的外接球半径。

2：正四面体的内切球半径

部分规律总结

3 单位：黑龙江省哈尔滨市阿城区教师进修学校

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