小结教学设计(第二课时)

圆的复习课教学设计

丰南教研训中心 张海霞

一、教材分析

本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用，是圆锥曲线的前奏曲。

二、学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。

但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

三、教法分析

本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以启发式教学法为主，以讲练结合法、谈话法等展开教学。为了充分调动学生学习的积极性，采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。在探究过程中，教师着眼于“导”，采用问题驱动的形式，激发学生的求知欲望；学生着眼与“探”，通过探究发现规律，发展探索能力和创造能力。

四、学法分析

通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程。

根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：

五、教学目标

(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程。

(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；

③培养学生自主探究的能力。

(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

六、教学重点与难点

(1)重点:

圆的标准方程的求法。

(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。

七、教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

1

问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

A02.7Bx4y

[引导]

画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）

将x＝2.7代入，得

y16－2.728.713．

即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）

y问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为r的圆M(x,y)r222的方程？答：x＋y＝r

2．如果圆心在(a,b)，半径为r时又如何呢？

[学生活动]

探究圆的方程。

[教师预设]

方法一：坐标法

如图，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为(xa)2(yb)2r

①

0CxyrC(a,b)0xM(x,y)把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：（1）含有a,b,r三个参数；

（2）已知方程可以找出圆心和半径。

（三）应用举例（巩固提高）

I．直接应用（内化新知）

问题三：1．根据圆的方程写出圆心和半径

（1）(x2)2(y3)25；

（2）(x2)2y2(2)2．

2．写出下列各圆的方程

2

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在C(3,4)，半径为5；

（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3)．

II．灵活应用 提升能力

问题四 例1：写出圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的方程，并判断点M(3,-2)，P(5,-7)，Q(-1,3)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

例2：ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数。还可以先求圆心（是线段AB和线段BC的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标准方程。

解：设所求圆的方程是(xa)(yb)r．

①

3 222A(5,1) O

x B(7,-3) C(2,-8)

因为A(5,1),B(7,3),C(2,8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是

a2解此方程组，

得b3

r225

所以ABC的外接圆的方程是

(x2)2(y3)225

．

例3:已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程。

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平y A(1,1) O C

x B(2,-2) l:xy10分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

（教师板书解题过程。）

4

31

解法1：因为A(1,1)，B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标为,，直线AB22的斜率kAB213． 21

因此线段AB的垂直平分线m的方程是y

即x3y30． 113x， 232x3y30C

圆心的坐标是方程组的解． xy10x3

解此方程组，得 y2

所以圆心C的坐标是3,2

圆心为C的圆的半径长rAC(13)2(12)25．

所以圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225．

解法2：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2．由题意得

a3

解得b2 r225 所以所求圆的方程是(x3)2(y2)225． 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：[来源:学科网ZXXK]

①

根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. ②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. （四）反馈训练——形成方法

问题五反馈练习：1.课本P121 的练习2、3（学生板演） 2．求过原点和点P(1,1)，且圆心在直线2x3y10上的圆的标准

5

方程.

（五）小结反思——拓展引申

1．课堂小结

把圆的标准方程、点与圆的关系加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法

（1）圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2

；

圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：x2y2r2. （2）

求圆的方程的方法：

①公式法 ②待定系数法

（3）点与圆的位置关系

点Px0,y0在圆外,则x0ay0br2

22点Px0,y0在圆上,则x0ay0br2

22点Px0,y0在圆内,则x0ay0br2

222．课后作业 课本P12 4的习题4.1A组2、3、4 3．激发新疑

问题六 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？

2．方程x2y26x8y200表示什么图形？

教学设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。

6