3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计内容

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

教师

学科

王冬玲

数学

教龄

课题

10 学校

米脂中学

直线的倾斜角和斜率

本课是北师大版数学必修二第二章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的教

材

分

析

基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础较好，部分学生喜欢学数学。学

情

分

析

虽然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。在此之前，学生已经接触过直线：平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。同时他们也接触过坡度的概念。这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。

1.

知识与技能：

正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

2.

过程与方法：

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

3.

态度情感与价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

1、

抽象概括直线的倾斜角和斜率概念

2、

探究发现过两点的直线的斜率公式

教

学

难

点

倾斜角概念形成

斜率概念的理解。

教

学

目

标

教

学

重

点

教学

手段

多媒体课件

教学过程

教学方法

师生互动、引导学生主动发现探索

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

同时使学生明确本课学习的内容。

1、明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

2、引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

1、探索描述直线的倾斜程度的几何要导

入

1、在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。

2、问题：直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？

问题:如何用代数的方法表示平面中简单图形——直

线？

生：相互讨论完成引例.

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：共同总结出直线方程的概念。

新知探究（一）直线的倾斜角

问题1、：如图1，对于平面直角坐标系一次函数 y=kx+b的图象是什么？其中k，b的几何意义如何？

你认为它的位置由哪些条件确定？

新

知探

究︵

一

︶

问题2、：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线直线的倾的区别在哪里？

斜角

指定学生回答，教师给与补充、纠正

师生：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

生：观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定

概

念

形

成

概念形成：倾斜角的定义

倾斜角的范围是什么？

特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，那么直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

义得出时会有困难。

师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。

从实例入手，引出用倾斜角的正切值表示斜率。

素，由此引出倾斜角的概念。

2、让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

思考:任何一条直线都有倾斜角吗？

不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

新

知

探

究

︵ 二

︶

直

线

的

斜

率

新知探究（二）直线的斜率

问题1:函数y=x,y=3x的图象是直线，这两条直线的倾斜角分别是多少？ 问题2：上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？ 问题3:初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？

1、基于学生的客观师:引导学现实，结合生在生活已有的生中举例，山活经验寻坡，楼梯找几何要等，教师楼素代数化梯的教学的方法。

情景。

2、探索描生：探索、述直线的交流。用数倾斜程度学语言表的代数表达自己的示，由此引发现。

出斜率概念

坡度（比）=升高量前进量

从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用来刻画直线的倾斜程度

概念形成：

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tanα

思考：那么任何一条直线都有斜率吗？

思考:倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？

思考:斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？

学生自己完成然后思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜教师组织角一定不相同吗？

间互相交是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

流，共同得（倾斜角与斜率一一对应吗？）

出结论。

教师指定学生强调易犯错误

新知探究（三）直线的斜率公式

问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。

明确可以用斜率表示直线的倾斜程度，但并非所有的直线都有斜率

让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

新

知

探

究

︵ 三

︶

直

思考：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立线

吗?

的

斜

率

师生：总结两点式斜率计算公式：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=

（x1≠x2），检验得到k=公式与P1，（x1≠x2）。

P2两点的顺序无关。

知

识

应

用

【例1】

判断下列命题的真假：

1.

任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜率；

2.

直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；

3.

直线的倾斜角为

，则；

学生回答

4.

直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；

5.

直线斜率的范围是

帮助学生巩固基本概念，发现易错点。

课堂练习

【例2】已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是

钝角？

【例3】在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

师：

要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

1、根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

2、给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

【练习】

1、已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：

(1) 错误！未找到引用源。＝0°；（2）错误！未找到引用源。＝60°；(3) 错误！未找到引用源。＝90°；（４）150°

2、直线错误！未找到引用源。经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是

教师根据3、过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，课堂实际对斜率进则m的值为( ) 时间，确定一步巩固。

A.1 B.4 C.1或3 练习与否

D.1或4 4、已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是 . 5、.已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 . [来源:学科网ZXXK]6、已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

学生思考，回答让学（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有生归纳出什么关系？

刻画直线倾斜程度（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

的两种方（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、

法：倾斜角也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么（形）和斜数学思想？

率（数）。

提问：

课

堂

小

结

总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。

作

业

习题2.1A组：1、2、3、4

学生独立完成

通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。

板

书

设

计

课题

一、直线的倾斜角

二、直线的斜率

三、斜率公式

练习

小结

作业