3.1.2 导数的概念名师教学设计2

高中数学教学设计

课题名称：《导数的概念》

姓名

学科年级

一、教学内容分析

“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，了解极限的思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题.

二、教学目标

（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法和步骤. （2）过程与方法目标：利用学习过的求方程近似解的二分法引导学生设计如何求物体在运动过程中某一时刻的瞬时速度。通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过学生小组讨论合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

三、学习者特征分析

（1）

有利因素：学生已较好地掌握了二分法知识，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． （2）不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，和现有的知识范围，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．

李嘉男

高二学年

工作单位

教材版本

哈尔滨市第六中学校

人教A版选修1-1

四、教学策略选择与设计

教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学． 通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．

五、教学重点及难点

教学重点：通过运动物体在某时间段的平均速度探求某一时刻的瞬时速度，抽象概括出函数导数的概念．

难点突破：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限的思想，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

六、教学过程

复***均变化率，平均速度

问题引入：若计算运动员在t1tt2这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，物体由t1运动到t2时，且h(t1)h(t2)

所以，显然vh(t1)h(t2)0

t1t2虽然运动员在t1tt2这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度描述运动员的运动状态就不合理了．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

（提示同学们根据二分法求解方程近似解的原理设计利用平均速度求某点处的瞬时速度）

学生分组讨论找出如何求瞬时速度的方案：可将区间[t1,t2]无限减小，平均速度就越来越就近瞬时速度，所以若求t2处的瞬时速度需把t2放在一个区间长度可以(t0)或[2,2t]，(t0);可以用调节t的大小调变化的区间里，比如：[2t,2]，节区间长度，那么t大于零或者小于零对于求瞬时速度有影响吗？

可以借助《几何画板》让学生更直观的看到从t2的两侧向t2逼近时比值趋近同一常数。以下用列表的方式更直观的体现这个极限思想。

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于t2的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: yf(x0x)f(x0)lim

x0xx0xlim我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

x0时，xx0，所以f(x0)lim（2）xxx0，当x0f(x)f(x0)xx0

（3）求导数的步骤：先求增量；再求比值；最后取极限。

3.求导数值

例1．求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

练习1.求函数f(x)1在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

x

例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

例3 设函数f(x)可导，则化简：

x0limf(1x)f(1)3x

练习：

设函数f(x)可导，则化简：

x0

七、小结

limf(1x)f(1)x

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

3. 用定义法求导数的步骤