2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案3

【新课教学过程设计（一）】

第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

第2.2.3节

直线与平面平行的性质

提出问题

①回忆空间两直线的位置关系. ②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. ④试证明直线与平面平行的性质定理. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？

⑥总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用排除法. 问题⑤引导学生找出应用的难点. 问题⑥鼓励学生总结，教师归纳. 讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面. ②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.

怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.

图3 ④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b. 证明：

⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面. ⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.

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应用示例

思路1

例1

如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

图4 (1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与面AC是什么位置关系？

活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导. 分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出. 解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，

图5 并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF. 则EF、BE、CF就是应画的线. (2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.

由（1）知，EF∥B′C′，

所以EF∥BC.因此

BE、CF显然都与平面AC相交. 变式训练

如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.

图6

解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.

∵B∈a，∴B∈β.

又A∈β，∴ABβ.

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同理ACβ，ADβ.

∵点A与直线a在α的异侧, ∴β与α相交. ∴面ABD与面α相交，交线为EG. ∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG,

∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD. EGAF.(相似三角形对应线段成比例) BDACAF520BD4∴EG=. AC99∴点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的. 例2

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.

图7 已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求证：b∥α.

证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c. ∵a∥α,aβ,α∩β=c, ∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵cα,bα,∴b∥α.

变式训练

如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.

图8

证明：连接EH. ∵E、H分别是AB、AD的中点, ∴EH∥BD. 又BD面BCD，EH面BCD, ∴EH∥面BCD. 又EHα、α∩面BCD=FG, 第

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∴EH∥FG. 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行. 课堂小结

知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.

方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.

作业

课本习题2.2

A组5、6.

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