习题2.4教学设计模板

关于圆锥曲线的中点弦问题（一）

成都市新都香城中学 李发林

一、教学目标

1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦问题的一般方法

2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。

3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。

二、重难点

求中点弦问题的方法及解决中点弦问题的纯粹性和完备性。

三、预学部分

完成下列各题：

1．已知椭圆

A．

，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（

）

B．

C．

2

D．

﹣2

2．已知A（1，2）为椭圆

A．

x+2y+4=0 3．AB是椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（

）

B．

x+2y﹣4=0 C．

2x+y+4=0 D．

2x+y﹣4=0 （a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（

）

22

A．

e﹣1 B．

1﹣e C．

e﹣1 D．

1﹣e

224．椭圆4x+9y=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为

A．

3x+2y﹣12=0 B．

2x+3y﹣12=0 C．

4x+9y﹣144=0 D．

9x+4y﹣144=0 5．若椭圆

A．

2

的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（

）

B．

﹣2 C．

D．

6．已知椭圆是（

）

A．

的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率B．

22

C．

D．

7．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（

）

1

A．

（）

B．

（﹣，）

C．

（，﹣）

D．

（﹣，）

8．以椭圆

A．

4x﹣3y﹣3=0

四、导学部分

内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（

）

B．

x﹣4y+3=0 C．

4x+y﹣5=0 D．

x+4y﹣5=0 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

其解法有点差法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

（一）、求中点弦所在直线方程问题

x2y21内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。例1 过椭圆

164解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

8(2k2k)x1x2，

4k21x1x24(2k2k)1k2又M为AB的中点，所以，解得，

2224k1故所求直线方程为x2y40。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点，

所以x1x24，y1y22，

又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216，

两式相减得(x1x2)4(y1y2)0，

22222222y1y2xx2111，即kAB，

2x1x24(y1y2)2故所求直线方程为x2y40。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），

所以则另一个交点为B(4-x,2y)，

x24y216因为A、B两点在椭圆上，所以有，

22(4x)4(2y)16两式相减得x2y40，

由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x2y40。

巩固提升：

221、已知M（4，2）是直线l被椭圆x+4y=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．

222、已知一直线与椭圆4x+9y=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．

2

（二）、求弦中点的轨迹方程问题

x2y21上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。

例2 过椭圆6436解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

9x1216y125762222则有，两式相减得9(x1x2)16(y1y2)0，

229x216y2576又因为x1x22x，y1y22y，所以92x(x1x2)162y(y1y2)0，

所以y1y29xy9xy0，而kPQ，故。

x(8)16yx8x1x216y22化简可得9x72x16y0

（x8）。

解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），由x22x18y，y1可得x12x8，y12y，

22x1y14(x4)24y21，

又因为Q在椭圆上，所以1，即64366436(x4)2y21

（x8）。

所以PQ中点M的轨迹方程为169x2y21，过点P2,0引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

变式：已知椭圆2yk(x2)解法一：设过点P2,0的直线方程为yk(x2)，联立方程x2，消去y，整理得

2y1212222kx4kx4k10，设弦的两个端点为Ax1,y1、Bx2,y2，中点Mx,y，

2x1x2x4k22k则x，，代入yk(x2)

42x212k2得yk(x2)222x1(x2)2xx2，即(x1)22y21

42x2又过点P2,0的直线与椭圆相交，所以4k22214k24k210

2解得0k

1x1，解得0x1。

，即0242x23

当k不存在时，不满足题设要求，舍去。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x1)22y21（0x1）

x12y1212解法二：设弦的两个端点为Ax1,y1、Bx2,y2，中点Mx,y，则

2x2y21222x12x22y12y20，整理得x1x2x1x22y1y2y1y20，

两式相减得2由题意知x1x2，所以y1y2x1x2yyxx，所以，

kAB，又kABx2x22yx1x22y1y22y整理得(x1)22y21。又过点P2,0的直线与椭圆相交，与解法一同理可得0x1。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x1)22y21（0x1）

五、固学部分

1．已知椭圆与双曲线2x﹣2y=1共焦点，且过（）

（1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

222．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x+my=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．

（1）求m的值； （2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

3．AB是椭圆证：kAB•kOM为定值．

4．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求22变化时，弦中点的轨迹方程．

5．已知椭圆．

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（3）过点P（

六、总结与反思

4 ）且被P点平分的弦所在的直线方程．