3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计模板

【课 题】空间向量及其加减与数乘运算

【教学目标】

知识目标：

1、空间向量的概念、表示、相同或相等；

2、空间向量的加法、减法、数乘及这三种运算的算律．

能力目标：

１、理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示；

２、会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

３、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

情感目标：

渗透化归和转化的思想

【教材分析】

教学重点：

空间向量的运算和运算律

教学难点：

应用向量解决立体几何问题

教学疑点：

对空间任意两个向量都是共面向量的认识

【学情分析】

学生在高一学***面向量，空间向量是平面向量的推广，所以空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．但是过了近一年的时间学生没怎么去运用它，学生对此内容遗忘教多，需要在课堂上“唤起他们的回忆”．有前面学***行为基础．

【教学方法】

【教学措施】

【教具准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、复习引入

1、平面向量

定义、几何表示法、字母表示法、相等向量

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

几何表示（三角形法则、平行四边形法则）和运算律

3、引入新课：如同平面向量一样，在空间也要研究向量．

二、新授

（一）空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量．

⑴空间的一个平移就是一个向量。

与平面里讲的虽然有区别，但共同点是指“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”，且空间的平移包含了平面内的平移．（多媒体演示）

⑵向量一般用有向线段表示。

同向且等长的有向线段表示同一或相等的向量。

⑶空间的任意两个向量都是共面向量。

先由学生思考：空间两个向量的位置关系怎样？（相交、异面、平行）

相交与平行的两个向量必定共面，异面的两个向量呢？（媒体演示）

AB已知空间的两个任意向量a,b，作OAa,OCb，由O,A,B三点确定一个平面或共线可知，空间任意两个向量都可以用同一平面的两条有向线段表示．

结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有

关结论仍适用于它们。



a

b

C

B

ka(k0)

b

a

a

ka(k0)



O

A

(二)空间向量的运算

与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下: OBOAABab

BAOAOBab

OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：

？

⑶数乘分配律：(ab)ab

思考: 空间向量是否满足加法交换律？即

(ab)ca(bc)

c



c

a

a



b

b

推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

（２）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.即：

D

A1A2A2A3A3A4AnA10

C

D

C

A

B

A

B

M C

a D

A

C

B

D

A

G ［例1］已B

知平行六面体ABCD－ABCD化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：

⑴ABBC； ⑵ABADAA；

11⑶ABADCC；

⑷(ABADAA)。

23解：如图：⑴ABBCAC； ⑵ABADAA=ACAAAC；

1⑶设M是线段CC的中点，则ABADCCACCMAM；

211⑷设G是线段AC的三等份点，则(ABADAA)ACAG。

33向量AC,AC,AM,AG如图所示。

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

［例２］已知平行六面体ABCDA1B1C1D1,求满足下列各式的x的值。

(1) AB1A1D1C1CxAC

(2) 2AD1BD1xAC1

(1) AB1A1D1C1C解



AB1B1C1C1C

ACx1.

(2) 2ADBD11

ADADBD111

AD(BCBD)111

ADDC111

D

C

A

B

D

A

C

B

x1.AC1

三、巩固练习

教材第27页练习第1、2题．

四、课堂小结：

1、类比思想、数形结合思想

2、空间向量的概念

3、空间向量的加减数乘运算及运算律

五、布置作业

1、在ΔABC中,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，

求ADBECF

如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心。求证：1AG(ABACAD)

3A

B G C D