信息技术应用 图形技术与函数性质公开课教案

导数在研究函数中的应用

许昌市第三高级中学

武帅超

一、考纲分析：

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；

2.能够利用导数的方法研究函数的极大（小）值、最大（小）值，研究方程和不等式（其中多项式函数一般不超过三次）；

3.对导数的考查侧重于理解和应用，试题综合性强，对函数与方程、数形结合、分类讨论等思想进行深入考查。

二、教学目标

1.能够利用导数求函数的极值、最值；

2.能够利用导数解决方程和不等式的相关问题。

三、教学重难点：

1.教学重点：利用导数研究函数的极值、最值; 2.教学难点：利用导数求函数的极值、最值，进而解决方程和不等式的相关问题; 四、教学过程：

1.自主学习：

（1）利用导数求函数的单调区间的步骤; （2）求可导函数极值的步骤：

（3）求连续可导函数在闭区间上的最值的步骤：

2．典例分析：前面我们共同复习了导数的概念及运算，也初步应用导数解决了一些函数单调性的问题，今天，我们在此基础上进一步复习导数在研究函数时的应用问题。

典例1：已知函数：

（1）求函数f(x)的单调区间：（自我展示，学生互评）

解：∵

ˊ

令

ˊ

﹥

，解得

﹥

或

﹤

令

ˊ

﹥

，解得

﹤

﹤

∴函数f(x)的单调递增区间为： ∞

、

∞

函数f(x)的单调递减区间为：

评：如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或者“和”字隔开。

（2）求函数f(x)的极值：（自我展示，学生互评）

解：由（1）可知，

ˊ

令

ˊ

，解得

或

当x变化时，

ˊ

、 的变化情况如下表所示：

x

ˊ

f(x)

∞

+ ↗

0

↘

1 0

∞

+ ↗

+c 因此，当

时，f(x)有极大值

+c；

当x=1时，f(x)有极小值

+c；

（3）求函数f(x)在

， 上的最值；（自我展示，学生互评）

解：由（2）可知：当

时，f(x)有极大值

+c；

当x=1时，f(x)有极小值

+c；

又∵

，

均在 ， 且

∴

﹤

﹤

﹤

∴f(x)在

， 上的最大值为

;

最小值为

+c：

（4）若对于

， ，不等式

﹤

恒成立，求c的取值范围；（小组交流，共同探讨）

解：由（3）可知：f(x)在

， 上的最大值为

; 若对于

， ，不等式

﹤

恒成立只需：

﹤

恒成立

即：

﹥

，解得：

﹥

或

﹤

评：不等式

﹤

﹥ 恒成立的问题常转化成函数最值的问题，通过求函数的最值得出的取值范围。

思考：如何证明不等式

﹤

﹥ )恒成立问题？

（5）当c=1时，画出函数f(x)的大致图像；（师生共研，升华提升）

解：由（1）可知：函数f(x)的单调递增区间为： ∞

、

∞

函数f(x)的单调递减区间为：

由（2）可知：当

时，函数f(x)有极大值

+1=；

当x=1时，函数f(x)有极小值

+1=

；

综上：函数f(x)的大致图像如下：

（6）若直线y=m与c=1时f(x)的图像有三个交点，求m的取值范围；（师生共研，升华提升）

解：由（5）可知函数f(x)的大致图像,而直线y=m是一条与轴平行（或重合）的直线，观察图像可得m的取值范围为：

﹤

﹤

（7）（自我测评，知识内化）

(1)

若直线y=m与c=1时f(x)的图像有二个交点，求m的取值范围；

(2)

若直线y=m与c=1时f(x)的图像有一个交点，求m的取值范围?

(3)

当方程

(4)

当方程

有二解时，分别求m的取值范围;

有三解时，分别求m的取值范围;

(5)当方程

有一解时，分别求m的取值范围;