6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质教学设计(教案)

6.3.2 函数yAsin(x)的图像与性质

执教者：李霞

七宝中学高一16、17班

课标要求：结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助函数图像理解参数、、A的意义，了解参数的变化对函数图像的影响.(P22)纯音可以用正弦函数来表达。音高与正弦函数的频率相关，响度与正弦函数的振幅相关，和声、音色与正弦函数的叠加相关。(P70) 本课的地位和作用：三角函数是描述周期现象的数学模型，

也是一种基本初等函数，

在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数Asin(ωx＋φ)的图象” 是三角函数的一个重要内容，

通过揭示参数

A，

ω，

φ变化对函数

y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，

有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，

同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

课本内容剖析：“函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的。图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．本节课是“函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质” 的第二课时。

前面的学习中，学生已经掌握了利用“五点法”作函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、

ω、φ的物理意义。本节课的教学设计是先分别探讨

A、

ω、φ对y＝Asinx(A>0)、

y＝sinωx(ω>0) 、y＝sin(x＋φ)的图象的影响，再揭示函数

y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的内在联系及其中的图象变换规律。

教学目标：①理解三个参数A、

ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响；

②掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与正弦曲线的内在联系及图像变换关系；

③经历对函数y＝sinx的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

重点：

对y＝Asinx(A>0)、

y＝sinωx(ω>0) 、y＝sin(x＋φ)的图象和y＝sinx的图象之间的变换规律的理解. 难点：函数

y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx图象变换与函数解析式变换的内在联系.

教学内容

一、创设情境，提出问题

问题1：几何画板中音乐小视频也体现出音节的响度和音调高低与A和师生活动

教师利用多媒体展示几何画板中运用正弦型函数制作的小音频。教师提出问题，学生依据上节课的知识点作出回答，对三个参量的物理意义进行简单阐述。那么设计意图

通过学生喜欢的音乐与数学建立联系，对函数

y＝Asin(ωx＋φ)图象的特征有一个直观的印象,激发学生研究该函数图象的兴趣。同回顾下A、

ω、这三个参数对函数

y＝Asin(ωx＋时也体现数学来源于生活的的关系。φ的物理意义？

问题2：这三个参数对函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图像又有什么具体的影响？

φ)的图像又有什么具体的影响？引入课题。

思想。

二、合作探究，自我尝学生思考讨论，教师引导总结：试

问题3：你认为应该怎样讨论三个参数A、

ω、φ对函数

y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响？

先分别探讨

A、

ω、φ对y＝Asinx(A>0)、

y＝sinωx(ω>0) 、y＝sin(x＋φ)的图象的影响，再揭示函数

y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的内在联系及其中的图象变换规律。

探究一：探讨函数y=sin学生独立或小组合作进行研究，教师适当指导。学生交流讨论，学生板书作图，教师讲解并用计算机演示作图过程，以及图象的动态变换过程。学生思考、讨论并给出回答，教师补充。

【结论1】：函数ysin(x)的引导学生思考研究问题的方法，抓住主要矛盾突破研究问题，初步建立起探索本节课内容的程序与轮廓。

(x)和ysinx图像的联系. 例1、在同一平面直角坐标系中分别作函数ysin(xysin(x4)和)在一个周4图像可由函数ysinx的图像向左(0)(0向右)平移||个单位而得到。这种变换称为平移期内的大致图像，并说明它们与函数ysinx的

图像的关系.

变换。

板书：ysinx→ y=sin(x)[纵坐标不变，横坐标平移个单位] 点

M (x0，

y0)→ 点

N (x0，

y0)

探究二：探讨函数y=sin学生独立或小组合作进行研究，教师适当指导。学生交流讨论，学生板书作图，教师讲解并用计算机演示作图过程，以及图象的动态变换过程。学生思考、讨论并给出回答，教师强调语言的准确性。

板书：

y＝sinx → 在学生已有认知结构的基础上再次提出问题，应用类比的方法探究参数对函数ysinx(0)的图象的影响，使得学生能够对所学习的方法、知识有更加深刻的认识，巩固已有的经验。

应用类比的方法引导学生自己概括认识对函数x (>0)和ysinx图像的联系. 例2、分别求函数xysin2x和ysin2(xR)的周期T1、T2，在同一个平面直角坐标系中，作函数横ysinx(0)[纵坐标不变，坐标变为原来的1ysin2x，x[0,T1]和倍] xysin,x[0,T2]的2大致图像，通过图像说明它们与ysinx的关系. y=sinx(>0)的图象可以看作是把

y＝sinx 图象上所有点在纵坐标不变的情况下横坐标变为原来的点

M (x0，

y0)→ 点

N (

x0，

Ay0)

ysinx(0)的图象的影响。并推广到对一般的函数图像变换与函数解析式变换之间的关系的影响，体会由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想，让学生的思维得到进一步的【结论2】：

一般地，y=sinx(>0)的图象可看作把图象ysinx上所有点的上所有点的横坐标缩短（1时）或伸长1（01时）到原来的倍（纵坐标不变）

而得到的。这种变换称为周期变换。

发展。

1倍得到的．

探究三：探讨函数y=Asinx (A>0)和ysinx图像的联系. 例3、在同一个平面直角坐标系中，作函数y2sinx和学生独立或小组合作进行研究，教师适当指导。学生交流讨论，学生板书作图，教师讲解并用计算机演示作图过程，以及图象的动态变换过程。学生思考、讨论并给出回答，教师强调语言的准确性。

板书：

y＝sinx → y＝Asinx (A>0)[横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍] 点

M (x0，

y0)→ 点

N (x0，

Ay0)

【结论2】：一般地，函数，y=Asinx(A>0)的图象可看作把图 学生在三角函数最值部分已经了解到A决定三角函数的最值，在学生已有认知结构的基础上再次提出问题，由数绘形，再从形的角度揭示数量关系. 图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．体现数学上从特殊到一般，局部到整体的思想，凸1ysinx(xR)的大致2图像，通过图像说明它们与ysinx的关系.

问题4：描述y2sinx、象ysinx上所有点的纵坐标伸y1sinx(xR)、与2ysinx的图像之间的长（A>1时）或缩短（0

质。

关系，总结A（A>0）对y=Asinx的图像的影响.

y＝Asinx(A＞0)的图象可以看作是把

y＝sinx 图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的

A 倍得到的．

三、归纳整合，抽象概括

以具体的例子为载体引导学生用准确的数学语言描述由函数

问题5：通过前面的学习，ysinx的图象到函数你能回答出函数)的图象的变换过

3ysinx的图象经过了程，教师用多媒体演示图象的动

y3sin(2x

哪些图象变换可以得到函数y3sin(2x的图象？

问题6：你能得出函数态变化过程。再层层推进推广到一般情况。

结论：一般地,函数

y＝Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图

有效的数学学习过程，3)yAsin(x)的图象,可以看作用下面的方法得到:不能单纯的模仿与记忆，数先画出函数ysinx的图象;再象与ysinx的图象之把正弦曲线向左(右)平移|φ|个间的关系吗？

结论：一般地,函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数ysinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

1学思维的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，通过师生互动学习，生生合作单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的

1倍,（纵坐标不交流，共同探究，发展思维，变）得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；总结规律，得出结论，进一最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,（横坐标不变）这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象。

步体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，让学生的思维得到进一步的深化。

倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 问题7：如何由函数yf(x)的图象得到函数yAf(x)的图象？

四、思考巩固、深化师生一起对本节课进行小结，相内涵

问题：（1）这节课你学到了什么？

（2）你又掌握了哪些数学思想方法？

课堂末尾:站在具体的知识沃土上，仰望抽象梦幻的科学星空。（播放几何画板制作的音频《天空之城》）

互补充，教师强调。

【小结】知识点：y＝Asin(ωx＋φ)中φ引起平移变换，A、ω引起伸缩变换.

数学思想：特殊到一般、类比、数形结合

【正弦变换】打油小诗：

确定初相左右移

横标伸缩定周期

振幅大小是最简

正弦变换没问题

知识整理，凝炼提高，形成系统，拓展深化。使学生深刻体会到数形不分家的数形之美，由形绘数，再到数揭示形之间的变换。

五、作业布置

书面作业：

堂堂练117-118 课后思考：①由函数六、板书设计

课题

一、对函数y=sin(x)的图象的影响 二、ω(ω>0)对ysinx的图象的影响 ysinx的图象到函数三、

A(A>0)对yAsinx的图象的影响

yAsin(x)(其四、函数yAsin(x)(其中A>0,ω>0)与函数ysinx的图中A>0,ω>0)的图象还有其他变换方法吗？

②如何由函数yf(x)的图象得到函数yAf(x)象之间的关系

的图象？