1.4.2 存在量词优质公开课教案

选修1—1 1.4.1全程量词

1.4.2 存在量词（教案）

【教学目标】

1. 理解全程量词与存在量词的意义,并会判断全称命题的真假；

2. 理解全称命题和特称命题的意义,并会判断特称命题的真假. 【重点】

：通过生活和数学中的丰富实例，理解全程量词和存在量词的意义. 【难点】

：全称命题和特称命题的真假的判定.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第21

页～第23页）

1.短语“所有的”“

任意的”在逻辑中通常叫做全程量词，并用符号“”表示,含有全程量词的命题,叫做全称命题,其基本形式为xM,p(x),读作对任意x属于M，有p(x)成立. 2. 短语“存在一个”“

至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题,其基本形式为x0M,p(x0),读作存在M中的元素x0,使p(x0)成立. 3.由含有变量x的语句构成的命题

含有变量x的陈述语句用p(x),q(x),r(x),表示,变量的取值范围用M表示.这样的语句不是命题,但却是构成命题的主要材料,例如: x5,x3都不是命题,可是“若x5,则x3”就是命题.除了用“若面加上量词也构成命题: 则”联接这些语句构成命题外,在这些语句的前(1)全称命题: xM,p(x).表示对M中所有的x,有p(x)成立.例如xR, x20;xR, x2; (2)特称命题: x0M,p(x0).表示存在于M中的一个x0,使p(x0)成立.例如x0R, x02;x0Z, x0Z.

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【基础练习】

1．判断下列全称命题的真假: (1) 每个指数函数都是单调函数; (2) 任何实数都有算术平方根; 2(3) xxx是无理数，x是无理数.

(1) 真命题; (2) 假命题; (3) 假命题

2.判断下列特称命题的真假: (1) x0R, x00;

(2) 至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; 2(3) x0xx是无理数，x0是无理数.

(1) 真命题 (2) 真命题 (3) 真命题

【典型例题】

例1 判断真假: (1) xQ, 121xx1Q; 23(2) ,R, sin()sinsin; (3) x,yZ,使3x2y10；

(4）xQ，x20;

(5）,R, sin()sinsin

(6）x,yZ,使3x2y10. 【审题要津】先判定命题是全称命题还是特称命题,然后依据全称命题和特称命题的真假的判定方法来判定. 解: (1) xQ, x是有理数，和皆为有理数,所以(1)为真命题; (2) 取0，则sin()sinsin,所以(2)为真命题; (3) 取x4,y1则3x2y10成立,所以(3)为真命题; (4) 真命题; (5) 取30,60，则sin()sinsin不成立,所以(5)为假命题; (6) 取x1,y1,则3x2y10不成立,所以(6)为假命题; 【方法总结】要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0使得p(x0)不成立，那么这个全称命

2 21213

题就是假命题,要判定特称命题“x0M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0使p(x0)成立即可;如果在集合M中使p(x)成立的元素不存在,那么这个特称命题就是假命题. 变式1：将下列命题用量词符号“”或“”表示,并判断真假. （1）

实数的平方是非负数；

（2）

整数中1最小；

（3）

方程ax22x10(a1)至少存在一个负根；

（4）

对于某些实数x，有2x10；

（5）

若直线l垂直于平面内任一直线，则l. 解：（1）xR, x20;真

（2）xZ, x1;假

（3）x0,有ax22x10(a1);真

（4）xR,有2x10;真

(5) 若a,l,则l;真

例2 下列命题是全称命题还是特称命题?是真命题还是假命题? (1) 负数的平方是正数; (2) 梯形的四条边不全相等; (3) 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (4) 质数是奇数; (5) 有些三角形没有外接圆. 【审题要津】辨别是全称命题还是特称命题,先看题目中是全程量词还是特称量词,省略量词的可先加上. 解: (1) 全称命题: 所有负数的平方都是正数;真

(2) 全称命题:所有梯形的四条边都不全相等;真

(3) 全称命题: 所有直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方;真

(4) 全称命题:所有质数都是奇数;假

(5) 特称命题: 有些三角形没有外接圆.假

【方法总结】要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题,要判定特称命题“x0M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0使p(x0)成立即可;如果在集合M中使p(x)成立的元素不存在,那么这个特称命题就是假命题. 变式2：判断下列命题的真假:

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(1) 已知a,b,c,dR,若ac,或bd,则abcd; (2) xN, xx; (3) 若m1则方程x2xm0无实根. (4) 存在两个相交的平面垂直于同一条直线. 解: (1)为假命题,反例: 14或52,而1542; (2)为假命题,反例: x0,x3x2不成立; (3)为真命题,因为m144m0无实根; (4)为假命题,因为垂直于同一直线的两个平面互相平行.

1.判断下列全称命题的真假：

（1）末位是0的整数，可以被5整除；

（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（3）梯形的对角线相等. 解: (1)为真命题 (2)为真命题 (3)为假命题

2.判断下列特称命题的真假: (1) 有些实数是无限不循环小数; (2) 有些三角形不是等腰三角形; (3) 有些菱形是正方形. 解: (1)为真命题 (2)为真命题 (3)为真命题

3.判断以下命题的真假: (1) xR,x20;

(2) xN,

x1;

(3) xZ,

x1;

(4) xQ,

x3. 解: (1)为真命题 (2) 为假命题 (3) 为真命题 (4) 为假命题

4.设p(x):2x,则以下说法错误的是( C ). (A)“xR, p(x)”是假命题 (B) p(5)

是真命题 (C) “xR, p(x)”是假命题 (D) “xR, p(x)”是真命题 5. 指出下列命题中的量词,并判断真假. (1) 空间中所有的四边形都共面；

x22342232

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(2) 有些一元二次方程无实数解；

(3) 任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数；

(4）有的函数是非奇非偶函数；

(5）每一个六棱锥都有6个顶点，12条棱；

(6）存在不全为零的实数,使共线向量a与b满足ab0；

(7）有些四边形存在外接圆. 解: (1)所有的,假;(2)有些,真;(3)任意,假;(4)有的,真;(5)每一个,假;(6)存在,真;(7)有些,真.

1. 判断下列全称命题或特称命题的真假: (1) a,bR, a2b22ab;

(2) 若a2b21,则直线axby1与圆x2y21至少有一个公共点.

(3) TR,使得sin(xT)sinx,xR; (4) TR,使得ax1(a0,a1).

解: (1)假命题,反例: ab0,a2b22ab; (2)真命题,由ab1,知原点到直线axby1的距离小于等于1; (3)真命题, T成立; (4)假命题,指数函数的值域大于零.

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