3.1.1 空间向量及其加减运算名师课堂实录

空间向量及其加减运算

教学要求：

1.知识与技能

掌握空间向量的有关概念，会进行空间向量的加法、减法运算. 2.过程与方法

运用现代教学信息技术手段，借助多媒体平台，运用课件展示，让学生能直观感受到空间向量，通过提出问题，学生自主学习，合作学习，小组汇报，自主探究体味到空间向量和平面向量没有本质区别，类比平面向量学习空间向量，增强了学生会用“类比归纳”解决数学问题的兴趣. 3.情感态度与价值观 通过类比平面向量学习空间向量以及推导证明空间向量运算性质，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生类比归纳能力，探索能力，运用数学表达能力， 教学过程：

1. 空间向量定义

如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

2.平面与空间向量类比

现在请同学们阅读教材的84--85页，找出空间向量的相关定义，用类比的方法记忆并填写课件的表格：

内容

概念

画法及其表示

平面向量

在平面上，既有大小又有方向的量

用有向线段AB画出来；表示方式：

空间向量

AB或a

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的

平面中模为1的向量

平面中长度相等，方向相反的两个向量，

平面中方向相同且模相等的向量

，

由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

3. 空间向量的加法、减法、数乘向量定义及几何意义

空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

，

ABOBOA（指向被减向量）

OPλa

(R)

4.平面向量、空间向量的运算律：

空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb．

空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；1⑶ABADCC'2

1⑷(ABADAA')．

3说明：平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

解：（见课本P27）

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

Ⅲ.巩固练习

课本P86

练习3