1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计第二课时

1.1.3四种命题的相互关系

教材分析：

本节课是高中数学人教A版选修2-1第一章《常用逻辑用语》第一大节第三课时内容。它的前面一节里已介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，它也为后续学习奠定基础，这节课本身也是高考内容。

（一）教学目标

◆知识与技能：让学生会分析四种命题之间的关系以及真假性之间的关系，会利用命题的等价性解决问题；通过案例分析及类比方法进行探索研究，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳类比知识

的能力。

◆过程与方法：多让学生举命题的例子，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力。

◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（1）分析四种命题之间的关系及真假性之间的联系；（2）利用命题的等价性解决问题。

难点：分析四种命题之间的关系以及真假性之间的关系。

（三）教学过程

学生探究过程：

１．复习引入：四种命题的概念和形式是什么？

２．思考、分析

问题探究一：四种命题间的相互关系

观察下列四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

问题1：命题（1）与命题（2）、（3）、（4）分别是什么关系？

问题2：命题（2）与命题（3），命题（2）与命题（4），命题（3）与命题（4）分别是什么关系？

问题3：一般地，一个命题的逆命题和否命题是什么关系？

问题4：一个命题的逆命题和逆否命题、否命题和逆否命题分别是什么关系？

归纳总结

我们发现，命题（2）、（3）是互为逆否命题，命题（2）、（4）是互否命题，命题（3）、（4）是互逆命题。

一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如下图所示

若P，则q．

原命题

互 为

互

互 逆

若￢P，则￢q．

若￢q，则￢P．

否

逆

否

逆否命题

互

否

互 逆

若q，则P．

逆命题

互

否

为 逆

否命题

练习 下列命题：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)

问题探究二：四种命题真假性之间的关系

例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

22（1）若x+y=0,则x,y全为0; 22（2）若ac>bc,则a>b; （3）等底等高的两个三角形是全等三角形; （4）若x<3,则x>1. （学生板演，教师讲解并引导总结得出）

题号

1 2 3 4 原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性；四种命题中，真命题的个数可能为0,2,4。

问题探究三：等价命题及应用

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来达到目的。

22例2：

证明：若x+y=0,则x=y=0 22分析：将“若x+y=0,则x=y=0”视为原命题。要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的22逆否命题“若x,y中至少有一个不为0，则x+y=0≠0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。

证明：若x,y中至少有一个不为0，

2不妨设x≠0，则x>0, 22所以 x+y>0，

22也就是说x+y≠0。

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习：

1.命题“若┑p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是 (

)

A．若p，则

┑q B．若q，则

┑p

C．若

┑q，则p D．若

┑q，则

┑p

2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是

A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M

C．若a∉M，则b∈M D．若b∈M，则a∉M

(

) 3 .课堂小结

（1）原命题的逆命题和否命题是互为逆否命题，逆命题和逆否命题是互否命题，

否命题和逆否命题是互逆命题．

（2）原命题和逆否命题的真假性相同；原命题和它的逆命题、否命题的真假性没有关系．

（3）利用等价命题可以判断一个命题的真假. 4.布置作业

课本P8页，习题1.1: 3,4

设计意图：

满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础