二、圆锥曲线的离心率与统一方程优质课教案

姓名：

阳友雄

学科：

数

学

课题：

离心率的几种经典模型

1

《离心率的几种经典模型》教学设计

基本信息

课题

2018届高3微专题

离心率的几种经典模型及其解决策略

内容分析

解析几何一直是高考的重点和热点内容，而离心率一直是以小题的方法进行考察，其解题方法变化多样，从海量的题目中总结一些有共性的题型，也许有其独特的价值。

离心率的类型很多，本节课选取其中比较经典的模型进行讲解，主要为如下9种模型

1.

定义法

2.已知PF1.PF2的范围

3.PF1PF2

4.AFBF

5.F1PF2

6.A1PA2

7.中点弦

8.已知焦点三角形两底角

9.共焦点

并对每种类型背后的命题背景进行揭示

学情分析

1．学生已临近高考，作为快要高考的高三学生，已具备一定的分析问题和解决问题的能力，对离心率的常见解题方法比较熟悉，缺乏的是模式识别，即对特定的模型能很快作出反应。

教学目标

回顾离心率的定义,椭圆和双曲线的定义,掌握9种经典模型的解题方法

通过对9种经典离心率模型的分析和解决，达到综合运用各种知识的目的，如解三角形常用的正弦定理，余弦定理，不等式里常用的基本不等式，三角函数里的二倍角，辅助角公式等等

1.通过经历和体验小题小做的探索过程,体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究；

2.通过对离心率的经典模型的研究去感受和掌握研究和解决问题的基本思想方法.

2

教学重点和难点

教学重点：综合运用各种知识解决离心率的相关问题教学策略分析

1.教法和学法分析

（1）合作学习：在合作学习过程中,学生的潜能得到充分的发挥,个性得到张扬,需要得到满足,建立起学习的信心；合作学习活动能使学生体会到相互间的关心和帮助,使学生在多维互动、相互砥砺、取长补短的过程中达到和谐进取的境界. （2）展示学习成果：把课堂还给学生,让学生做学习的主人.课堂上重要的环节是让学生来展示他们的学习成果,解决学习中的问题.学生在经历了自主、合作学习之后,要在课堂上展示其学习成果.可由教师或科代表将一节的知识点在课前分解到各个学习小组,并由小组长将任务分解到小组成员的每个人来完成展示,学生自主设计其展示问题的形式与方式.展示的内容应具有典型性,要突出重点、解决难点；展示的形式主要有板书展示、口头展示及模型展示等. （3）精讲点拨：“有效课堂”强调以生为本,强调以学生的学习状态或者心智发展为主要课堂样态,师生之间教与学关系的重心最大可能地向学生转移.学生以主动的态度面对学习内容,积极去探究、发现,而非被动“盛装”.教师主要为学生创设学习交流探究的平台.在课堂上,教师要放弃话语统治权,逐渐淡化成为课堂上学生精彩的“背景”和学生成长路上的“路牌”,精讲点拨则是其具体体现. （4）目标达成：在每节课学案中都设置了目标检测题,检验学生掌握情况. （5）教师点评：教师的评价在有效课堂教学环节中主要体现在两处：一处是随时进

行的即时评价,另一处则是在课堂教学结束时的小组评价.在学习过程中把握好评价的时机,给予学生适时的、适当的鼓励、表扬、赞许,让学生体验成功的喜悦,激发积极的情感,从而使学生产生浓厚的学习兴趣. （6）精简小结：教师对本节课知识总结,再次强调本节课知识点,也可让学生自行总结. 2.教辅手段 以板书为主,多媒体为辅的教学手段.

3

教学难点：如何对常见离心率模型进行总结和思考，运用多种手段求解离心率

教学过程

教学环节

x2y2例：设椭圆221(ab0)的左焦点为F

ab师生互动

设计意图

，直线l:ykx(k0)与椭圆交于点A,B，

若AFBF，FAB(0,]，求椭圆的离心率的范围

12解：设右焦点为F'，则四边形AFBF'是矩形，

灵活运用椭圆的定义，把离心率用角的三角函数表示出来，从而求出离心率的范围

题组一︓特殊值法令AFm,BFn,FABAFO, 则m2ccos,n2csin

mn2a2c(cossin)2a e2c11

2asincos2sin()4题组二︓特殊函数法

因为(0,12]e12sin()4[6,1)

3

x2y2例：已知F1(c,0),F2(c,0)是椭圆221(ab0)的两个焦ab点，P为椭圆上的一点，且PF1.PF2c，求此椭圆离心率的取值范围

解：由PF1.PF2[b2c2,b2]

得a22c2c2a2c2e[32,] 322利用消元的思想或者利用焦半径求出PF1.PF2的范围从而求出离心率范围

当然也易得PF1.PF2a2e2x2[a2c2,a2]

4

P(x,y)，则PF1aex,PF2aex，

所以

PF12PF22(2c)2

PF1.PF2PF1.PF2.cosPPF1.PF2.2PF1.PF2经典模型二背景揭示PF12PF22(2c)2

2(aex)2(aex)24c2e2x2a22c2 即PF1.PF22对命题背景进行解密，达到做一题而通万题

，即因为0x2a2PF1.PF2[a22c2,a2c2]经典模型三

PF1.PF2[b2c2,b2]

x2y2例：双曲线221(a,b0)的左右焦点分别为F1,F2，若P为ab利用方程的思想，求出双曲线上一点，且PF12PF2，求离心率的取值范围

解：由双曲线定义PF1PF22a，所以PF22a，又再根据其范围(A为双曲线的右顶点)，所以2acae3，又e1，所以求出离心率范1e3 围

PF2AF2ca PF1,PF2的值，

5

经典模型四x2y2已知椭圆221(ab0)的两个焦点分别为F1,F2，过F2的

利用椭圆第ab直线l的斜率为3，与椭圆交于A,B两点，且AF22BF2，求二定义进行求椭圆的离心率

解

经典模型四背景揭示

定理1：设点F是离心率为e，焦点在x轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F的弦AB与x轴的夹角为，F分AB所成的比为，则ecos1

1证明：如图，设直线l是焦点F相应的准线，过A,B作直线l的垂线，垂直分别为A1,B1,由圆锥曲线的第二定义得AFBFAFBF, eAA1,BB1AA1BB1ee过B作BHAA1于H，则

AHAA1BB1AFBF(1)BF

eee对命题背景进行解密

又ABAFBF(1)BF

由HABcosAH11ecos

AB(1)e1容易验证当直线AB的倾斜角2或0时，等式也成立

若焦点在y轴，

F分AB所成的比为(1)，类似的可得esin1

1

6

x2y2例：已知椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，若ab经典模型五椭圆上存在一点P使得F1PF2范围

解：

esin60

3e1

22,求椭圆的离心率e的取值最大顶角模型31 经典模型五背景揭示

SF1PF2b2tan在椭圆焦点△PF1F2中，F1PF2,则离心率esin2，2

证明：(1)设PF1x,PF2y，则xy2a，在△PF1F2中，由余弦定理得

x2y2(2c)2(xy)22xy(2c)2

cos2xy2xy4a24c24a24c24a24c2211112e

2xy2xy2a2()22对命题背景解所以e2立

1cos密

sin2esin，当且仅当xy时等号成2224a24c24b22b2(2)由(1)得cos

11xy2xy2xy1cos所以SF1PF2

112b2sinxysin.b2tan

221cos2

7

经典模型六x2y2例：椭圆221(ab0)的长轴两端点为A,B，若椭圆上ab最大顶角模型2 存在一点Q,

使得AQB120，求椭圆的离心率的取值范围

经典模型六背景揭示经典模型七

2x2y2设P为椭圆221上的一点，A1(a,0),A2(a,0)，则当P为ab短轴端点时，A1PA2最大

证明：不妨设P(x,y)，且0yb，A1PA2，直线A1P,A2P的倾斜角分别为,，则

tantan()tantan2ay2，将

1tantanxy2a2对命题背景解密

y22ab22ab22abxa(12)代入得tan2222，

bcycbab2即当yb时，A1PA2最大，此时P为短轴端点，所以

b2ababcote1(b)21cot2tan22ab1(b)2a2a2a

2.

例：过点M(1,1)作斜率为1的直线与椭圆2x2y2C:221(ab0)相交于A,B两点，若M是线段AB的中ab点差法

点，求椭圆的离心率

解：kOM.kABb21b2b22 21.()2e12a2aa28

x2y2在椭圆221(ab0)中，若直线l与椭圆相交于M,N两ab点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNkOPb22. a证明：设M,N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有经典模型七背景揭示x12y12221,(1)ab

22x2y21.(2)b2a2x12x22y12y22y2y1y2y1b20(1)(2)，得2.

22abx2x1x2x1a圆的垂径定理的推广，可以看做圆锥曲线的垂径定理

所以kMN.kOPy2y1y0y2y1y2y1b2..2

x2x1x0x2x1x2x1a

y2x2【备注】若椭圆方程为221(ab0)，则结论为abkMNkOPa22. bx2y2b2若是改为双曲线221(a,b0)，则kMNkOP2. aba

9

x2y2例：已知F1,F2是椭圆221(ab0)的左右焦点，点M在ab椭圆上，cosMF1F2322，求椭圆的离心率 ,cosMF2F123经典模型八11解：由已知得sinMF1F2,sinMF2F1，所以正弦定理+合23sinF1MF29382 36分比定理

定理得经典模型八背景揭示

由正弦e

F1F2sinF1MF22c9382 2aMF1MF2sinMF2F1sinMF1F230x2y2如图，设椭圆的方程为221(ab0)，F1,F2是左右焦点，ab点P是椭圆上除长轴上两个顶点外的任意一点，且PF1F2,PF2F1，则e在△PF1F2

sin()

sinsinPF1PF2PF1PF22c2a中， sin()sinsinsinsinsinsin命题背景解密

所以e2csin()

2asinsin

x2y2sin()若是改为双曲线221(a,b0)，则e

absinsin

10

例：（2014湖北卷）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2的离心率的倒数之和的最大值为

A.4323 B. C.3 D.2 333，则椭圆和双曲线

x2y2解：椭圆C1:221(a1b10)与双曲线

a1b1x2y2C2:221(a2,b20)

a2b2由椭圆和双曲线焦点三角形的面积公式△PF1F2的面积Sb12tan6b22cot6b13b2

经典模型九b22b1213由22b12b22224，不妨设

e1e2e1e2共焦点的离心率问题

132cos,2sin e1e2则4311243

2cossinsin()，最大值为3e1e233

x2y2解法：椭圆C1:221(a1b10)与双曲线

a1b1x2y2C2:221(a2,b20)

a2b2设PF1r1,PF2r2,F1F22c，则

r1r432c1sinF1F2P sinF1F2Psinc33112a12a2(r1r2)(r1r2)r14343sinF1F2Pe1e22c2cc33

11

x2y2已知椭圆C1:221(a1b10)与双曲线

a1b1经典模型九背景揭示x2y2C2:221(a2,b20)的焦点重合，e1,e2分别为C1,C2的离a2b2b22b12心率，则22b12b22 e1e2b221a12b12c2b121a22c2b22证明：2221，2212

22e1ccce1ccc2b22b12b222b21所以22b2(21)b1(12)b12b22

e1e2cc命题背景解密

练习

x2y2例：（2015福建卷）已知椭圆E:221(ab0)的右焦点ab为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点，若AFBF4，点M到直线l的距离不小于E的离心率范围

4，求椭圆5x2y2例：点M是椭圆221(ab0)上的点，以M为圆心的ab课后练习巩固

圆与x轴相切于椭圆的焦点，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是钝角三角形，求椭圆的离心率的取值范围

x2y2已知双曲线221(a,b0)与直线y2x有交点，求双曲线ab离心率e的取值范围

板书设计

12

离心率的几种经典模型及其解决策略

模型一：

模型二：

模型三：

例3、解题过程展示

变式3、解题过程展示

例1、解题过程展示

变式1、解题过程展示

例2、解题过程展示

变式2、解题过程展示

模型四：

例4、解题过程展示

变式4、解题过程展示

模型五：

例5、解题过程展示

变式5、解题过程展示

模型六：

例6，解题过程展示

变式6：解题过程展示

模型七：

例7、解题过程展示

变式7、解题过程展示

模型八：

例8、解题过程展示

变式8、解题过程展示

模型九：

例9：解题过程展示

变式9：解题过程展示

小结：

学生学习活动评价设计

高三学生是一个特殊的学习群体.根据皮亚杰关于心理发展的阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段,高三学生的自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想.高三学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力,但是学生的抽象思维能力还不是很强.本课的教学设计旨在搭设台阶,降低坡度,引导学生通过观察、分析、归纳、推理来探究其方法与技巧,为我所用,激发学生自主探究的学习热情,让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造。

13

学生自我评价表（时间以一节课为单位）

评

价

内

容

评

价

等

级

优（5）

良（4）

中（3）

评价目的

我能认真听老师讲课，听同学发言。

遇到我会回答的问题都主动举手了。

发言时声音响亮

我能积极参与小组讨论活动，能与他人合作？

善于思考，并能有条理地表达自己不同的看法。

我会指出同学错误的解答

我能常得到老师的表扬、同学的赞赏。

我能在不懂时向别人请教。

我已养成良好的完成作业的习惯

我能展开丰富的想像理解教学内容。

我在学习的过程中感到快乐。

最欣赏哪个同学的表现呢？为什么？

我还有与这节课的内容相关的问题问老师

能否认真专注

能否主动参与

能否自由表达

能否善于合作

能否独立思考

是否敢于否定

是否欣赏自我

是否敢于请教

能否独立思考

是否富于想像

是否兴趣浓厚

得分

14