3.1.3 导数的几何意义教案设计范例

导数的几何意义教学设计教

材:人教A版··数学·选修1-1授课教师:

广德三中 王启军授课内容的数学本质：

《新课程标准》要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。

本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开。怎样找到曲线上一点处的切线呢？只要回顾一下小学生或初中生画切线的过程，就不难理解“割线逼近切线”的数学方法，这便是导数的几何源头。

从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。

教学目标定位：

本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助动画，从圆中切线推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，使学生认识到导数f(x0)就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。即：

fx0xf(x0)＝曲线在xx0处切线的斜率xf/x0limx0

在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

知识的基础与外延：

导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值及相关实际问题的有效工具。本节内容在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；形与数的有机结合，把几何与代数联系在一起。

学习本节内容有助于学生更好认识导数及应用导数工具，增强动手能力及感知发现的能力，在思想方法上又可以深化数形结合认识。同时，也为后继学习微积分中“以直代曲”的重要思想方法作了铺垫。

教材选择了大量具有基础性、典型性和可接受性的生活实例（如：某时刻跳水运动的变化、药物浓度），尤其是许多具有物理背景的实例（如：平均速度、瞬时速度、加速度等），这些素材的选取，首先有助于反映导数的本质和应用，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，同时也符合学生的心理特征和认知水平。而运用多媒体辅助教学，则生动再现了变化和联系，把计算机变成学习的好伙伴。

教学诊断分析：

结合学生的课堂学习情况及练习、测验的分析结果得出：在中学作为“教育形态”而非“学术形态”的微积分可以适当简化和降低理论的严格推导过程，形象直观地去认识和感受它，这既减少了学生学习的困难，又有利于真正理解导数的本质。

1.在熟悉的圆中切线，推广到一般曲线中用割线逼近的方法得到切线，突破当x0时，对割线变化趋势的研究。 （易了解）

分析：改变了知识的严密推理，从直观图象出发，用动画演示变化过程，强化学生的感

知，得到新的认识体验，为研究导数的几何意义奠定基础。

2.对照图形中割线到切线的联系，得出两者斜率的关系，再从数值上研究得到导数的几何意义。（中等难度）

分析：提供两组不同难度的分层思考问题，帮助学生突破此知识点。割线的斜率→切线的斜率；

平均变化率→瞬时变化率 (即该点处导数)

3.“以直代曲”的思想容易误解的是用直线去代替某一段曲线。

（易误解）

分析：通过将曲线一点附近的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现在某点附近的很小区域内可以用切线近似代替曲线来研究问题，即“以直代曲”的思想，帮助学生消除误解。

4．例题中根据图象，描述、比较曲线在3个不同时刻附近的变化情况。

（易误解）分析：考虑多数学生可能是由图象直观判断得出答案，没有运用导数的几何意义和以直代曲的思想。故教师在点拨时，引导学生运用切线的升降近似得到该点处切线的斜率即导数的情况，进而研究附近曲线的升降即函数的增减，同时期望优生能感知导数值与函数增减的联系，为学习导数的应用埋下伏笔。

教法特点：

《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。

从借助动画演示，研究割线斜率与切线斜率的关系到数值表示上对照平均变化率与瞬时变化率的关系，适当地引导思路，给后进生提供探索和感知的平台；给优生在能力培养方面提出更高的要求，期望不同层次的学生在自主探索的过程中都有感知和发现，自主获得导数的几何意义。

教学过程中提供更多的机会给学生进行自主实践，主动建构知识体系。相信学生可以按自己的方法和速度学习数学知识、理解数学原理、掌握数学方法，并应用所学知识解决实际问题，给学生更多成功的体验。教学中始终关注后进生的活动，及时给与肯定和鼓励，也作为合作者协助他们获得知识。通过教师的长期培养，学生慢慢养成探索的习惯，最终达到主动探索，提高学生

的数学学习能力。

预期效果分析：

知识的引入符合学生的认知规律，避免了理论的严格推导过程，而是借助图象形象直观去认识和感受它，从形的直观感知进而到代数符号的探究，数形结合获得新知然后应用知识，再分层练习，逐步加深学生对知识的理解。通过经历完整的探究过程，达到对导数的几何意义掌握较好，能应用它研究函数的增减变化。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，促进他们在过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

教学反思：

本节课的学生学***的形成性评价，以学生的课堂练习作为主要依据，学生在课堂上完成了哪一部分练习，他这节课的学***的评价就定在这部分练习所代表的学***上。教师分析学生的完成情况，易错点和难点，为今后的教学积累第一手的素材，及时调控教学，做到有的放矢。

不同的学生可以根据需要进行有效的训练。对导数几何意义的理解和简单应用，掌握较好。对于高阶函数的导数的研究，学生不太擅长，可以在学习了函数的求导公式后，再进一步地加强。导数在研究函数性质方面的应用需要在后继学习中不断深入研究，加强知识的掌握，提升能力。

学生的学习评价

根据学生的练习情况，对导数的几何意义掌握较好，能借助导数研究函数的增减。综合题便于优生增强能力、训练思维，为后继学习引入导函数的概念奠定基础。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。