3.1.3 导数的几何意义教案公开课一等奖

导学案

导数的几何意义

【三维目标】

●知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；理解曲线的切线的概念；

通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并能运用导数的几何意义解决相关问题。

●过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力。

●情感态度与价值观：让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 【学习重点】：发现和理解导数的几何意义

【学习难点】：应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题

学习过程

（一）、复习引入

1．平均变化率、割线的斜率

2. 导数的概念、求导数的步骤

提出问题

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

（二）、自学探究

如图3.1-2,观察当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割n(xn,f(xn))(n1线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2

（1）如何定义曲线在点P处的切线？

( 2 )割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(3)切线PT的斜率k为多少？

说明: 当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. （三）、小组交流

导数的几何意义

（1）函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义是什么？

（2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？

（四）、展示成果

例1 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0的斜率

, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率

, 所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的

斜率

, 所以,在tt2附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.

变式

根据图3.1-3，请描述、比较曲线h(t)在t3、t4附近的变化情况

结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是 的，即函数在这点附近是单调递 ；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是 的，即函数在这点附近是单调递 ；

例2 （1）若曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2xy10,

则f(x0)

（2）求曲线f(x)x21在点P(1,2)处的切线方程.

例3：已知曲线C:yxx2和点A(1,2)，求曲线C在点A处的切线方程？3变式1：求过点A的曲线C的切线方程？变式2:若曲线C上一点P处的切线恰好平行于直线y11x1，则P点坐标为___________,切线方程为_______________.

2

例4：已知曲线C:x4y（）直线1L:x-y-4=0在曲线C上求一点P，

（五）、总结

使P到直线L的距离最短，并求出最短距离相交A,B两点，分别在A,B两点处的曲线C的两条切线相交与点M，求证：AMB=90.（2）直线M通过C的焦点且与抛物线

课后作业

1、习题3.1

A组

第5题

1.y3x24x2在点x1的切线方程是_____。2.在曲线yx33x26x10的切线中斜率最小的切线方程______________。3.曲线ylnx上的点到直线xy30的最短距离是_________。