3.1.1 变化率问题教学内容

第一章

1.1 变化率与导数(1)教案

教学准备

1.

教学目标

（1）理解平均变化率的概念. （2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. （3）理解导数的概念

（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 2.

教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解

教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

3.

教学用具

多媒体、板书

4.

标签

教学过程

一、创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究

[1]变化率问题

【合作探究】

探究1

气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【板演/PPT】

【活动】

【分析】

当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）

【板演/PPT】

【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）运动员在这段时间里是静止的吗? （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【板演/PPT】

【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 【活动】师生共同归纳出结论

上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2

同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率意义是什么？

的几何

【提示】：直线AB的斜率

【生】学生结合图象思考问题

【设计意图】问题的目的是：

① 让学生加深对平均变化率的理解；

② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫；

③

③培养学生数形结合的能力。

[2]导数的概念

探究1 何为瞬时速度

【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

解：

探究2

当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论

t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值

–13.1.

从物理的角度看, 时间间隔

|△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于

t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在

t = 2 时的瞬时速度是

–13.1 m/s. 为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值–

13.1”.

【瞬时速度】

我们用

表示

“当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻

的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻

t0

的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在

x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数

y = f (x)在

x = x0

处的瞬时变化率是

称为函数

y = f(x) 在

x = x0 处的导数, 记作或,

【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数

y = f (x)的导数的一般方法:

[3]例题讲解

例题1

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第

x h时, 原油的温度(单位: )为

y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升. [4]本节课知识总结

1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1) （2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度：

（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) （2）求平均速度

（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：

（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) （2）)平均变化率

（3）求极限三、复习总结和作业布置

[1]

课堂练习

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为

( ) A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0) 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是

( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

课堂练习【参考答案】

1. D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 2. B 解析：

3.解析：4.解析：

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本

P.10 习题1.1 A组1,2,3,4. 平均变化率: