1.2.1 充要条件教案1

《充要条件》教案

湖南省永州市李达中学 张文生

教学目标

1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正确运用. 2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 教学重点与难点

正确理解3个概念，并在分析中正确判断. 教学过程

师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.请同学们回答. 生：(口答，师板书) 原命题：若A，则B. 逆命题：若B，则A. 否命题：若非A，则非B. 逆否命题：若非B，则非A. 师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上.要求是：

(1)原命题成立，逆命题不成立；

(2)原命题不成立，逆命题成立；

(3)原命题成立，逆命题成立；

(4)原命题不成立，逆命题也不成立. (师巡视后，选4位同学的投影片待用.以下讨论将随机应变，下面写的只是一种设想.) 师：(取第一位同学的投影片定格，并板书.) 原命题：如果x＝y，那么x2=y2. 师：这个原命题成立吗? 生：(口答)成立. 师：这个原命题的逆命题是什么?是否成立? 生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y.不成立. 师：请举一个逆命题不成立的例子. 生：(口答)例：取x=1，y=-1.满足x2=y2，但x≠y.

师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论“x2=y2”记作B.本例说明：“若A，则B.”成立，记作AB.则称A是B的充分条件，B是A的必要条件.由于逆命题不成立，即AB，则称A是B的充分但不必要条件. 这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立.即“x=y”是“x2=y2”的充分但不必要条件. 师：(取第二位同学的投影片定格，并板书.)

原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等. 师：这个原命题成立吗? 生：(口答)不成立.

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师：请举一个例子. 生：(板书) 因为AA′∥BC，所以SΔABC=SΔA′BC.但这两个三角形不全等. 师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立. 生：(口答) 如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等. 这个逆命题成立. 师：如果原命题不成立，而逆命题成立.我们说原命题的条件对结论的成立是必要但不充分的.也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分条件. 把本例原命题的条件记作A，结论记作B.由于原命题不成立，而逆命题成立.即：AB，则称A是B的必要但不充分条件. 师：(取第三位同学投影片定格，板书.) 原命题：x2+y2=0，则x=0且y=0.这个命题成立吗? 生：(口答)成立. 师：这个原命题的逆命题怎样叙述?是否成立? 生：(口答)“如果x=0且y=0，则x2+y2=0”.这个逆命题是成立的. 师：如果原命题成立，逆命题也成立.我们说原命题的条件是其结论的既充分又必要的.本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且y=0”记作B.由于AB，且BA.记作AB.则称A是B成立的充分且必要条件，简称A是B的充要条件. 师：(取第四位同学的投影片定格，并板书.) 原命题：如a＞b，则｜a｜＞｜b｜. 这个原命题成立吗?并说明理由. 生：(口答)不成立.例：a=-1,b=-2.满足a＞b，但不满足｜a｜＞｜b｜. 师：请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立. 生：(口答)“如果｜a｜＞｜b｜，则a＞b”.不成立.例：a=-3,b=1.满足｜a｜＞｜b｜，但不满足a＞b. 师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B，本例是AB，则称A是B成立的既不充分又不必要条件. 现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书.) 1.“若A，则B”是真命题，记“AB”.称A是B的充分条件，B是A的必要条件. 2.如果AB，且BA，记AB. 3.AB，称A是B的充要条件；

AB，称A是B的充分但不必要条件；

AB，称A是B的必要但不充分条件；

AB，称A是B的既不充分又不必要条件. 以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出了判断A是B的什么条件的依据. 现在请同学们回答：A

B，B是A的什么条件? 生：(讨论后回答)B是A的必要但不充分条件. 师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义. (投影或计算机操作显示) 在直线坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：

1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

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2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线

叫做方程的曲线(图形). 师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成B.它们都是A的必要条件.两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要条件.如果两者缺一，譬如仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件.为此，在定义“曲线的方程”和“方程的曲线”时，关系1、2缺一不可.实际上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等价转换问题. 现在请看以下例题：

例1

两条不重合的直线l1、l2(共同前提).l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件? (学生讨论回答) 生甲：两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1∥l2的充要条件. 师：这个结论对吗? 生乙：不对.因为l1∥l2，有可能l1和l2的斜率不存在.故两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1∥l2的充分但不必要条件. 师：生乙的回答很好.如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢? 生丙：把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可. 例2

“0.1lgx2＞1”是“｜x｜＜1”成立的(

). (A)充分但不必要条件

(B)必要但不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

(学生讨论后回答)

生：选A.理由是(0.1)lgx1＞1(10lgx2)-1＞1x2＞1x2＜1x≠0｜x｜＜1.由｜x｜＜1推不出x≠0.

例3

“三棱锥(底面是非正三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”是“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”的什么条件? 生：(口答)是充要条件. 师：同学们再想一想. 生：是充分但不必要条件. 师：为什么? 生：因为顶点在底面的射影有可能是非等边三角形的旁心. 师：大家再讨论一下，这位同学的结论是否正确? 生：(讨论后回答)不正确.应该是必要但不充分条件.其理由是：把条件“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面有均相等”看成A，“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”看成B.那么A B.理由是有可能三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的旁心.所以，A是B的必要但不充分条件. 师：这位同学回答得很好.如何改变命题的条件，使其成为充要条件呢? 生：条件A是“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等，且顶点在底面的射影落在底面三角形内”即可. 例4 a、b∈R，则1a＜1b成立的一个充分而不必要的条件是(

). (A)b＜a＜0

(B)a＜b (C)ab(a-b)＞0

(D)a＞b (同学们讨论回答) 生：选(A).其理由是b＜a＜01a＜1b.

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例子是a＜0，b＞0满足1a＜1b，但b＜a＜0不成立. 例5

已知a是β的充要条件，S是γ的必要条件同时又是β的充分条件，试求α与γ的关系. 师：请同学们把解答写在投影片上. (师巡视后，选错误及正确解答展示，最后把正确解答定格.) 解：由已知得

αβSγ，

所以γ是α的充分条件，或α是γ的必要条件. 例6 (投影展示)

(学生兴趣盎然，数学交流达到了高潮，在争论中得到正确答案.) 师：今天我们学习了充分条件、必要条件、充要条件3个概念，并学会了判断条件A是B的什么条件.也为今后我们解决数学问题打下了等价转化的基础.今天的作业：

1.第58页练习1，2，3，4. 2.第61页习题四，9. 3.构造16个小题，代数、三角、立体几何、解析几何各4个.分别为A是B的充分但不必要条件、A是B的必要但不充分条件、A是B的充要条件、A是B的既不充分又不必要条件. 设计说明

1.“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念，也是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础.在实际教学，这一节一般有两种处理方法：第一种是，在高一讲授或高二解析几何起始课时讲授，俗称“前充要”；第二种是按教材编排，放到解析几何第二章讲授，俗称“后充要”.本节教案为“后弃要”设计. 2.由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关.而学生在初中都

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了解到原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的.为此，本教案着重从“原命题、逆命题”与“充要条件”的联系进行分析，从而没有提及否命题和逆否命题.在实际教学中，可将否命题与逆否命题容纳进去. 3.本教案有悖于教材，仅从A是B的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述，便于学生进行正确的判断. 4.由于这节课概念性、理论性较强.一般的教学使学生感到枯燥无味.为此，激发学生的学习兴趣是关键.把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感到数字美.从而培养学生的数学能力，为强化等价转换这一数学思想打下良好的逻辑基础. 5.充要条件这节课是个难点，也是高中数学的基础.如有可能，不妨先给学生介绍点简易逻辑知识.譬如，什么叫命题?用语言、符号或式子表达的，而且能判断真假的语名叫做命题.两个命题p、q用逻辑联词“且”联结起来构成一个新命题，称为联言命题.联言命题的真假，只有当p、q同真时，才是真命题.两个命题p、q用逻辑联词“或”联结起来构成一个新命题，称为选言命题.选言命题的真假，如p、q中至少有一个是真命题，则这个选言命题是真命题.只有当p、q同时是假命题，这个选言命题才是假命题.这种逻辑知识对学生判断是十分有用的.

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